令和8年測量士補 No.3 解説｜余弦定理と三角形の面積

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問題

次の文の［ア］及び［イ］に入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の1〜5から選べ。なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。

図3の三角形ABCは、辺ABの辺長が11m、辺BCの辺長が14m、辺CAの辺長が9mである。このとき、∠ABCの角度は余弦定理によりおよそ［ア］と求められ、三角形ABCの面積はおよそ［イ］である。

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和8年測量士補試験問題集 No.3）

正解：1（∠ABC ≒ 40°、面積 ≒ 49.5 m²）

余弦定理の公式：辺CA²（対辺）= AB² + BC² − 2×AB×BC×cos(∠ABC)

これを変形すると：

cos(∠ABC) = (AB² + BC² − CA²) / (2 × AB × BC)

= (11² + 14² − 9²) / (2 × 11 × 14)

= (121 + 196 − 81) / 308

= 236 / 308

≒ 0.76623

∠ABC = arccos(0.76623) ≒ 40°

関数表より cos40° = 0.76604 が最も近い値なので、∠ABC ≒ 40° と判断します。

面積 = (1/2) × AB × BC × sin(∠ABC)

= (1/2) × 11 × 14 × sin40°

= (1/2) × 154 × 0.64279

= 77 × 0.64279

≒ 49.5 m²

独学でここまでの整理がきついと感じたら、講義で手順から補うのが近道です。

余弦定理の公式は「どの角度を求めるか」によって使い方が変わります。

問題：三角形ABCで AB=11m、BC=14m、CA=9mのとき、cos(∠ABC)の値はいくらか。

答え：約0.766

(121+196-81)÷308 = 236÷308 ≒ 0.766。よって∠ABC ≒ 40°。

手順	式	この問題での値
① 角度（余弦定理）	cos∠B＝(AB²＋BC²−CA²)/(2·AB·BC)	(121＋196−81)/308≒0.766 → ∠B≒40°
② 面積	S ＝ ½·AB·BC·sin∠B	½×11×14×sin40°≒49.5 m²

3辺が分かれば余弦定理で挟角を出し、そのsinで面積（½×2辺×挟角のsin）。座標が与えられる年は座標法（倍面積）に切り替えます。

次の3点は特に間違えやすいので注意。

ミス	どう防ぐか
対辺の取り違え	余弦定理の左辺は求める角の対辺の二乗（∠Bなら対辺CA）。
cosとsinの混同	角度は余弦定理（cos）、面積は2辺と挟角のsin。役割が違う。
挟角でない角で面積	½ab·sinC の C はa・bが挟む角。別の角のsinを使わない。