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令和8年 測量士補 No.3 解説｜余弦定理と三角形の面積
問題
次の文の［ア］及び［イ］に入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の1〜5から選べ。なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。
図3の三角形ABCは、辺ABの辺長が11m、辺BCの辺長が14m、辺CAの辺長が9mである。このとき、∠ABCの角度は余弦定理によりおよそ［ア］と求められ、三角形ABCの面積はおよそ［イ］である。
※ 図3（三角形ABC）は、問題冊子のPDFをご確認ください。
| ア（∠ABC） | イ（面積） | |
|---|---|---|
| 1 | 40° | 49.5 m² |
| 2 | 40° | 50.5 m² |
| 3 | 41° | 49.5 m² |
| 4 | 41° | 50.5 m² |
| 5 | 41° | 51.5 m² |
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和8年測量士補試験問題集 No.3）
解き方：余弦定理による角度計算
余弦定理の公式：辺CA²（対辺）= AB² + BC² − 2×AB×BC×cos(∠ABC)
これを変形すると：
cos(∠ABC) = (AB² + BC² − CA²) / (2 × AB × BC)
= (11² + 14² − 9²) / (2 × 11 × 14)
= (121 + 196 − 81) / 308
= 236 / 308
≒ 0.76623
∠ABC = arccos(0.76623) ≒ 40°
関数表より cos40° = 0.76604 が最も近い値なので、∠ABC ≒ 40° と判断します。
解き方：三角形の面積計算
面積 = (1/2) × AB × BC × sin(∠ABC)
= (1/2) × 11 × 14 × sin40°
= (1/2) × 154 × 0.64279
= 77 × 0.64279
≒ 49.5 m²
試験で押さえるポイント
余弦定理の公式は「どの角度を求めるか」によって使い方が変わります。
- 求める角の対辺の二乗が左辺になる
- 残り2辺が隣り合う辺として右辺に入る
- 角度を求めたら、次にsin値を使って面積を計算
一問一答
問題：三角形ABCで AB=11m、BC=14m、CA=9mのとき、cos(∠ABC)の値はいくらか。
答え：約0.766
(121+196-81)÷308 = 236÷308 ≒ 0.766。よって∠ABC ≒ 40°。
※ この記事の確認日：2026年6月
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正解：1（∠ABC ≒ 40°、面積 ≒ 49.5 m²）