正弦定理と余弦定理、どっちを使うかで迷う人へ｜測量の角度・辺の使い分け
ソクタ
三角形の問題で「正弦定理と余弦定理、どっちを使うの？」で手が止まりませんか？見分け方はシンプルで、「与えられた情報の形」で決まります。測量での使い方とあわせて整理します。
この記事の要点
三角形の辺・角を求める道具が正弦定理と余弦定理です。使い分けは「向かい合う角と辺の組があれば正弦定理」「2辺とその間の角／3辺なら余弦定理」。測量では、辺長や偏心補正に正弦定理、3辺から角・面積に余弦定理を使います。直角三角形なら三平方の定理でOKです。
正弦定理・余弦定理は、測量の三角形計算の土台です。公式は2つだけですが、「どっちを使うか」で迷うと手が止まります。
ここでは見分け方と、測量での具体的な使い方を過去問の数値で整理します。
三角形では、辺の長さ a・b・c と、その向かいの角 A・B・C が決まった関係を持ちます。この関係を使って「分かっている情報から、分からない辺や角を求める」道具が正弦定理と余弦定理です。
一言でいうと、「三角形の一部（辺と角）が分かっているとき、残りを計算で出す2つの公式」です。どちらを使うかは、与えられた情報が"向かい合っているか""挟んでいるか"で決まります。
2つの公式
正弦定理：辺と、その向かいの角のsinの比は一定。
a ÷ sinA ＝ b ÷ sinB ＝ c ÷ sinC
余弦定理：1つの辺を、残り2辺とその間の角で表す。
c² ＝ a² ＋ b² − 2ab・cosC
余弦定理を角について解くと cosC ＝（a² ＋ b² − c²）÷ 2ab となり、3辺から角を求められます。
使い分けの早見表
| 与えられた情報 | 使う定理 | 求まるもの |
|---|---|---|
| 1辺＋その向かいの角＋もう1つの角 | 正弦定理 | 他の辺の長さ |
| 2辺＋その間の角 | 余弦定理 | 残りの辺の長さ |
| 3辺すべて | 余弦定理 | 各角の大きさ |
| 直角を挟む2辺（直角三角形） | 三平方の定理 | 斜辺の長さ |
「向かい合う角と辺の組」が見えたら正弦定理、「2辺＋間の角」か「3辺」なら余弦定理。この2パターンで覚えれば迷いません。
正弦定理の計算例（令和6年 No.3）
△ABCで AC＝8.0m、∠BCA＝70°、∠ABC＝30° のとき、辺BCを求めます。
ステップ1：残りの角を出す
∠BAC ＝ 180° − 70° − 30° ＝ 80°
ステップ2：向かい合う組で正弦定理
辺BCの向かいは∠BAC（80°）、辺ACの向かいは∠ABC（30°）。向かい合う組が2つそろうので正弦定理が使えます。
BC ＝ AC × sin∠BAC ÷ sin∠ABC ＝ 8.0 × sin80° ÷ sin30°
＝ 8.0 × 0.98481 ÷ 0.5 ＝ 15.8 m
余弦定理の計算例（令和8年 No.3）
△ABCで AB＝11m、BC＝14m、CA＝9m（3辺）のとき、∠ABCと面積を求めます。
ステップ1：3辺から角（余弦定理）
cos∠ABC ＝（AB² ＋ BC² − CA²）÷（2×AB×BC）
＝（11² ＋ 14² − 9²）÷（2×11×14）＝（121 ＋ 196 − 81）÷ 308 ＝ 236 ÷ 308 ≒ 0.766
関数表より cos40°≒0.766 なので ∠ABC ≒ 40°
ステップ2：面積（½×2辺×sin夾角）
面積 ＝ ½ × AB × BC × sin∠ABC ＝ ½ × 11 × 14 × sin40°
＝ 77 × 0.64279 ≒ 49.5 ㎡
つまずきポイント
① まず図を描いて、辺と角の「向かい合わせ」を確認。向かい合う組がそろえば正弦定理、挟む形・3辺なら余弦定理です。
② 面積は「½ × 2辺 × その間の角のsin」（S＝½ab・sinC）。角を求めたら面積もこの式で出せます。
③ 直角三角形なら三平方で十分。余弦定理でcos90°＝0を入れると三平方の定理と一致します（無理に余弦定理を使わなくてよい）。
混同しやすい用語
正弦定理と余弦定理
正弦定理は「向かい合う辺と角の組」で辺・角を求める。余弦定理は「2辺と間の角」や「3辺」で辺・角を求める。与えられた情報の形で選びます。
余弦定理と三平方の定理
三平方の定理は直角三角形専用、余弦定理は任意の三角形。直角三角形は余弦定理のcos90°＝0の特別な場合です。
辺を求める／角を求める／面積を求める
辺＝正弦or余弦、角＝余弦（3辺）、面積＝½ab・sinC。「何を求めるか」で式が変わります。
正弦定理・余弦定理が出た過去問（年度別に解く）
この記事の使い分けがそのまま使えます。
偏心観測の補正計算も正弦定理がベースです。偏心観測の計算（公式と符号の見分け方）
一問一答
問題：三角形の3辺の長さがすべて分かっているとき、ある角の大きさを求めるのに使うのは正弦定理である。
〇か×か。
答え：×
3辺から角を求めるのは余弦定理です（cosC＝(a²+b²−c²)/2ab）。正弦定理は向かい合う角と辺の組が必要です。
問題：△ABCで AC＝8.0m、∠BCA＝70°、∠ABC＝30°のとき、辺BCは何mか。
答え：∠BAC＝80°。BC＝8.0×sin80°÷sin30°≒15.8m（正弦定理）。
問題：2辺とその間の角が分かっている三角形の面積は、½×2辺×（間の角のsin）で求められる。
〇か×か。
答え：〇
面積 S＝½ab・sinC。間の角のsinを使うのがポイントです。
まとめ
今回は正弦定理と余弦定理の使い分けについて説明しました。
「向かい合う角と辺の組→正弦定理」「2辺と間の角・3辺→余弦定理」「直角三角形→三平方」。この3択を、図を描いて判断するのがコツです。
面積は½ab・sinC。辺・角・面積の「何を求めるか」で式を選べば、三角形の計算で迷いません。
直角三角形・座標差の距離計算はこちらもどうぞ。
参考法令・規格
- 測量法（昭和24年法律第188号）
- 公共測量作業規程の準則（国土交通省）
- 測量士補 過去問（国土地理院）令和6年 No.3・令和8年 No.3 ほか
※ この記事の確認日：2026年6月
試験での問われ方｜ソクタの一言
三角形の計算は、公式より「どっちを使うか」の判断で差がつきます。本番では、問題の図に分かっている辺・角を書き込み、「向かい合う組があるか？」を最初に確認するクセをつけると、正弦・余弦の選択を迷いません。
測量士補で覚える定理は実質、三平方の定理と正弦定理＋（3辺なら）余弦定理。面積の½ab・sinCもセットで押さえましょう。