令和3年測量士補 No.27 解説｜三角形の土地の面積

本ページはプロモーション（アフィリエイト広告）を含みます。

4級基準点からトータルステーションで測量した3点A・B・Cの方向角と平面距離をもとに、三角形の土地の面積を求める計算問題です。方向角と距離を座標(X,Y)に変換し、座標法（倍面積の公式）で求めます。

問題

公共測量により設置された4級基準点から、トータルステーションを用いて三角形の頂点に当たる地点A、B、Cを測量し、表27のとおり各地点の方向角及び平面距離を得た。地点A、B、Cで囲まれた三角形の土地の面積は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
なお、cos75°＝0.25882、sin75°＝0.96593、cos105°＝−0.25882、sin105°＝0.96593とする。

図27　4級基準点から地点A・B・Cを観測して結んだ三角形の土地の配置図。平面直角座標系のX軸・Y軸方向と、基準点から各地点への視準方向を示す模式図 — 図27　出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和3年測量士補試験問題集 No.27）

表27　各地点の方向角・平面距離（4級基準点から測定）

地点	方向角	平面距離
A	75°00′00″	48.000 m
B	105°00′00″	32.000 m
C	105°00′00″	23.000 m

55.904m²
108.000m²
138.440m²
187.061m²
200.000m²

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和3年測量士補試験問題集 No.27）

正解：2（108.000m²）

座標法（倍面積の公式）で求めます。

解き方

手順①：方向角・平面距離を平面直角座標(X, Y)に変換

基準点を原点として、X＝平面距離×cos方向角、Y＝平面距離×sin方向角で各点の座標を求めます。

A：X＝48×cos75°＝48×0.25882＝+12.423、Y＝48×sin75°＝48×0.96593＝+46.365
B：X＝32×cos105°＝32×(−0.25882)＝−8.282、Y＝32×sin105°＝32×0.96593＝+30.910
C：X＝23×cos105°＝23×(−0.25882)＝−5.953、Y＝23×sin105°＝23×0.96593＝+22.216

手順②：座標法（倍面積の公式）

3点 A(x_A,y_A)、B(x_B,y_B)、C(x_C,y_C) の三角形の面積Sは、

S ＝ (1/2) |x_A(y_B−y_C) ＋ x_B(y_C−y_A) ＋ x_C(y_A−y_B)|

で求められます（各点の x ×「次の点の y − 前の点の y」を合計して2で割る）。

手順①で求めた座標を代入すると、まず各カッコ内は
y_B−y_C ＝ 30.910 − 22.216 ＝ +8.694
y_C−y_A ＝ 22.216 − 46.365 ＝ −24.149
y_A−y_B ＝ 46.365 − 30.910 ＝ +15.455

これを公式に入れて、

S ＝ (1/2) | 12.423×8.694 ＋ (−8.282)×(−24.149) ＋ (−5.953)×15.455 |
　＝ (1/2) | 108.006 ＋ 200.002 − 92.004 |
　＝ (1/2) × 216.004 ＝約108.000m²（選択肢2）

座標の符号（＋・−）の取り違えに注意すれば確実に解けます。

独学でここまでの整理がきついと感じたら、講義で手順から補うのが近道です。

▶ アガルートの無料資料請求・サンプル講義を試す

試験で押さえるポイント

方向角と平面距離で位置が与えられたら、まず座標(X,Y)に変換（X＝距離×cos方向角、Y＝距離×sin方向角）してから座標法（倍面積の公式）で面積を出すのが定石。座標法は「各点のx ×（次のy − 前のy）を足して、絶対値を2で割る」と機械的に処理できます。方向角の象限による符号と、引き算の順番だけ慎重に。