令和4年測量士補 No.7 解説｜偏心観測の水平角計算（計算問題）

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既知点Bから既知点Aへの視通が確保できないため、Aに偏心点Pを設けて観測しました。観測値（水平角T′・偏心距離e・偏心角φ）から、本来の水平角T（既知点A方向と新点C方向の間の角）を求める問題です。

問題

図7は、トータルステーションによる偏心観測について示したものである。図7のように、既知点Bにおいて、既知点Aを基準方向として新点C方向の水平角を測定しようとしたところ、既知点Bから既知点Aへの視通が確保できなかったため、既知点Aに偏心点Pを設けて、水平角T′、偏心距離e及び偏心角φの観測を行い、表7の結果を得た。このとき、既知点A方向と新点C方向の間の水平角Tは幾らか。最も近いものを次の中から選べ。

ただし、既知点A、B間の距離Sは1,500mであり、S及びeは基準面上の距離に補正されているものとする。また、角度1ラジアンは（2×10⁵）″とする。なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。

図7　トータルステーションによる偏心観測の配置図。既知点A・B・新点C、偏心点P、偏心距離e・偏心角φ・水平角T/T′を示す模式図（凡例付き） — 図7　出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和4年測量士補試験問題集 No.7）

記号	観測値
φ（偏心角）	210°00′00″
e（偏心距離）	2.70 m
T′（観測した水平角）	50°41′00″

50°30′00″
50°32′00″
50°34′00″
50°36′00″
50°38′00″

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和4年測量士補試験問題集 No.7）

正解：5（T ≒ 50°38′00″）

解き方：偏心補正量を求める

偏心点Pを視準したことによる方向のずれ（偏心補正量 ε）は、三角形の正弦定理から次式で求めます。

ε″ ＝ ( e × |sin φ| ÷ S ) × ρ″

＝ ( 2.70 × |sin 210°| ÷ 1,500 ) × (2×10⁵)

｜sin 210°｜＝0.5 なので

＝ ( 2.70 × 0.5 ÷ 1,500 ) × 200,000

＝ ( 1.35 ÷ 1,500 ) × 200,000 ＝ 0.0009 × 200,000

＝ 180″ ＝ 3′00″

解き方：本来の水平角Tを求める

図の配置から、観測値T′に偏心補正量εを差し引いてTを得ます。

T ＝ T′ − ε ＝ 50°41′00″ − 3′00″ ＝ 50°38′00″

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試験で押さえるポイント

偏心補正量 ε ＝ e・sinφ／S × ρ。微小角なので、正弦定理を「sinε≒ε（ラジアン）」と近似して計算します。

補正の符号（＋か−か）は必ず図で確認。本問は偏心点が基準方向側にあり、T′から差し引いてTを求めます。

一問一答

問題：S＝1,500m、e＝2.70m、|sinφ|＝0.5、1ラジアン＝2×10⁵″のとき、偏心補正量は何秒か。

答え：180″（＝3′）

(2.70×0.5÷1500)×200000＝180″。

偏心補正は「1つの型」で年度をまたいで解ける

偏心観測の角度補正は、出題年が変わっても次の1式で解けます。記号の意味と値の拾い方を固定しておけば、図がなくても手が動きます。

記号	意味	この問題での値・拾い方
ε″	偏心補正量（秒）	求める値（＝180″）
e	偏心距離	2.70 m
φ	偏心角	210° → 大きさは \|sin210°\|＝0.5
S	既知点間の基準面距離	1,500 m
ρ″	1ラジアンの秒数	2×10⁵（問題文に与えられる）

ε″ ＝ e × |sinφ| ÷ S × ρ″　に当てはめるだけ。距離の偏心ではなく角度の偏心補正はこの型です。

計算問題でやりがちな3つのミス（図がなくても防げる）

次の3点は特に間違えやすいので注意。とくに符号と単位の取り違えが失点の大半です。

ミス	どう防ぐか
符号（T′に＋か−か）	公式の丸暗記でなく、偏心点が基準方向のどちら側かで判断。本問は引いて50°38′00″。
ラジアン換算忘れ	sinの値はラジアン。秒に直すため必ず×ρ″（2×10⁵）。これを忘れると桁が合わない。
φの象限	210°なら\|sin210°\|＝0.5。大きさは絶対値、向き（足す/引く）は符号で別に判断。