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令和5年 測量士補 No.3 解説｜角度の最確値・標準偏差と辺長（計算問題）

角度を5回測定した結果から「最確値の標準偏差（ア）」を求め、さらに余弦定理で「辺CAの辺長（イ）」を求める計算問題です。

問題

次の文の［　ア　］及び［　イ　］に入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の中から選べ。

なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。

三角形ABCで∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表3の結果を得た。このとき、∠ABCの角度の最確値の標準偏差の値は［　ア　］となる。

また、表3の測定値の最確値を∠ABCの角度とし、辺ABの辺長を3.0m、辺BCの辺長を8.0mとしたとき、辺CAの辺長は［　イ　］となる。

表3 測定値
59°59′57″
60°00′01″
59°59′59″
60°00′05″
59°59′58″
アイ
11.4″7.0 m
21.4″9.8 m
32.8″5.6 m
42.8″9.8 m
53.2″7.0 m

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和5年測量士補試験問題集 No.3）

正解：1（ア:1.4″　イ:7.0 m）

解き方（ア）：最確値と残差を求める

等精度の観測なので、最確値は測定値の平均。秒の部分で計算すると、−3″・+1″・−1″・+5″・−2″の平均は 0″ なので、最確値＝60°00′00″ です。各測定値の残差 v とその二乗は次のとおり。

測定値 残差 v（秒） v²
59°59′57″−3″9
60°00′01″+1″1
59°59′59″−1″1
60°00′05″+5″25
59°59′58″−2″4
合計0Σv²＝40

1回観測の標準偏差　σ₀ ＝ √( Σv² ÷ (n−1) ) ＝ √(40 ÷ 4) ＝ √10 ≒ 3.16″

最確値（平均値）の標準偏差　σₘ ＝ σ₀ ÷ √n ＝ 3.16 ÷ √5 ≒ 1.4″

よって ア ＝ 1.4″。

解き方（イ）：余弦定理で辺CAを求める

最確値 ∠ABC＝60°、AB＝3.0m、BC＝8.0m を余弦定理に代入します。

CA² ＝ AB² ＋ BC² − 2・AB・BC・cos(∠ABC)

＝ 3² ＋ 8² − 2×3×8×cos60° ＝ 9 ＋ 64 − 48×0.5

＝ 73 − 24 ＝ 49

CA ＝ √49 ＝ 7.0 m

よって イ ＝ 7.0 m。アとイの組合せは選択肢1です。

試験で押さえるポイント

1回観測の標準偏差は「√(Σv²÷(n−1))」、最確値の標準偏差はさらに「÷√n」。この2段階の区別が最大のポイントです。

cos60°＝0.5、cos の前は「2・AB・BC」。余弦定理の係数2の付け忘れに注意。

一問一答

問題：最確値の標準偏差は、1回観測の標準偏差を√nで割って求める。○か×か。

答え：○

1回観測の標準偏差 σ₀＝√(Σv²/(n−1)) を、さらに √n で割ると最確値の標準偏差になります。

標準偏差とは？計算の基礎

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参考

  • 最確値（算術平均）・残差・標準偏差の計算／余弦定理

※ この記事の確認日：2026年6月

初心者が学ぶ測量士補 編集部

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