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平成23年 測量士補 No.4 解説｜最確値の標準偏差（計算）
水平角θを5回観測した結果から、最確値（平均値）に対する標準偏差を求める計算問題です。残差の二乗和から標準偏差を計算します。
問題
点Aで点Bを基準方向として点C方向の水平角θを同じ精度で5回観測し、表4の結果を得た。水平角θの最確値に対する標準偏差は幾らか。観測値：150°00′07″、149°59′59″、149°59′56″、150°00′05″、150°00′13″。
- 2.4″
- 3.0″
- 3.6″
- 6.0″
- 6.7″
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成23年測量士補試験問題集 No.4）
解き方
まず平均値（最確値）を求め、各観測値の残差（観測値−平均）の二乗和を計算します。1観測の標準偏差σ＝√(Σv²/(n−1))、最確値の標準偏差＝σ÷√nです。150°00′00″からの差（秒）で計算します。
差（秒）：+7、−1、−4、+5、+13 → 平均 ＝ 20÷5 ＝ +4″
残差 v：+3、−5、−8、+1、+9
v² の和 ＝ 9＋25＋64＋1＋81 ＝ 180
1観測の標準偏差 σ ＝ √(180÷4) ＝ √45 ≒ 6.708″
最確値の標準偏差 ＝ σ÷√5 ＝ 6.708÷2.236 ≒ 3.0″
残差 v：+3、−5、−8、+1、+9
v² の和 ＝ 9＋25＋64＋1＋81 ＝ 180
1観測の標準偏差 σ ＝ √(180÷4) ＝ √45 ≒ 6.708″
最確値の標準偏差 ＝ σ÷√5 ＝ 6.708÷2.236 ≒ 3.0″
よって選択肢2（3.0″）です。
試験で押さえるポイント
1観測の標準偏差σ＝√(Σv²/(n−1))、最確値の標準偏差＝σ÷√n。最確値（平均値）の標準偏差は1観測のσより小さくなります（√nで割るため）。残差は「観測値−平均値」で求めます。
一問一答
問題：最確値（平均値）の標準偏差は、1観測の標準偏差をどう処理して求めるか。
答え：√n（観測回数の平方根）で割る。
観測回数が多いほど最確値の精度は上がります。
※ この記事の確認日：2026年6月
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正解：2（3.0″）
1観測の標準偏差を√nで割って最確値の標準偏差を求めます。