三角関数とは？測量士補で使うsin・cos・tanの意味と使い方｜座標・高さの求め方

三角関数（sin・cos・tan）は、測量の計算の土台です。むずかしそうに見えますが、測量で使う場面は「斜めに測った距離を、縦と横に分ける」ことに集約されます。

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一言でいうと、三角関数は「斜めの線（斜距離）と角度が分かっているとき、縦（高さ）と横（水平距離）を計算で出す道具」です。sin・cosのどちらを使うかは、測った角の「隣辺（となり）」か「対辺（むかい）」かで決まります。

計算そのものが苦手なら、先に測量士補の計算問題の解法パターンで頻出の型に目を通しておくと、この先がぐっと読みやすくなります。

なぜ測量で三角関数が必要なの？

現場で直接測れるのは、たいてい斜めの距離と角度です。

一方で、図面や成果に必要なのは水平距離・標高（高さ）・座標という「縦と横」の値です。

この「斜めで測ったもの」を「縦と横」に変換する橋渡しが、三角関数の役割です。

斜めの距離＋角度 → 縦（高さ）と横（水平距離）に分ける。これが測量での三角関数のすべて。

sin・cos・tanの意味（迷わないための1つのルール）

直角三角形で、注目する角を θ とします。斜辺（斜めの線）を S とすると、辺の長さは次のように書けます。

対辺（角の向かいの辺）＝ S × sinθ

隣辺（角のとなりの辺）＝ S × cosθ

tanは「対辺 ÷ 隣辺（＝sinθ÷cosθ）」で、傾きを表します。

「sinとcosのどっち？」で迷うのは、覚え方が定まっていないからです。

迷ったら、図を描いて注目する角に印をつけ、「隣辺＝cos／対辺＝sin」と当てはめれば必ず決まります。

試験では電卓が使えないので、sin・cosの数値は問題末尾の関数表から読み取ります。表の引き方は関数表の使い方で確認できます。

測量での三角関数①：座標を出す（方向角と距離）

多角測量（トラバース）では、ある点から次の点への方向角θと距離Sから、座標の差（南北方向＝ΔX、東西方向＝ΔY）を求めます。

ここが最大の注意点です。測量の方向角は「北（縦・X軸）」から時計回りに測ります。数学の授業で習う「横（x軸）から」とは基準が違います。

そのため、注目する角（方向角）の隣辺は「北（縦）」、対辺は「東（横）」になります。ルール「隣辺＝cos／対辺＝sin」を当てはめると、こうなります。

緯距 ΔX（南北）＝ S × cosθ

経距 ΔY（東西）＝ S × sinθ

実際の過去問で確認（令和6年 No.6）

点A（X＝−800.00m、Y＝+1,100.00m）から、方向角305°・距離1,000.00mの新点Bの座標を求めます。

ΔX ＝ 1,000 × cos305° ＝ 1,000 × 0.57358 ＝ +573.58m

ΔY ＝ 1,000 × sin305° ＝ 1,000 ×（−0.81915）＝ −819.15m

XB ＝ −800.00 ＋ 573.58 ＝ −226.42m、YB ＝ +1,100.00 −819.15 ＝ +280.85m

方向角が270°〜360°（北西より東寄りの向き）だと、cosは＋・sinは−になります。符号は「図のどちら向きに進むか」で決まるので、まず図を描くのが安全です。

座標と距離の関係をもっと丁寧に見たい人は、座標から距離・方向角を求める計算とトラバース測量の方向角の求め方もどうぞ。

測量での三角関数②：高さを出す（斜距離と高低角）

トータルステーション（TS）では、斜距離Sと高低角α（水平線からの上向きの角）から、高低差と水平距離を求めます。

高低角αは水平線（横）から測るので、隣辺は「水平距離（横）」、対辺は「高低差（縦）」です。ルールを当てはめると、こうなります。

高低差（縦）＝ S × sinα

水平距離（横）＝ S × cosα

実際の過去問で確認（令和5年 No.7）

既知点A（標高10.00m）から、斜距離1,000m・高低角11°で新点Bを観測しました（sin11°＝0.19081）。

高低差 ＝ 1,000 × sin11° ＝ 1,000 × 0.19081 ＝ 190.81m

これに器械高・目標高を足し引きして、新点Bの標高は約 200.71m と求まります。

座標では「北＝cos」、高さでは「高低差＝sin」。どちらも「測った角の隣辺＝cos／対辺＝sin」で説明できます。

高さの計算の続きは、水平距離と鉛直角の観測で確認できます。

「解説を読んでも、なぜこの式になるのか腹落ちしない」。独学だと、つまずいた1点を質問できずに止まりがちです。

手順から教えてくれる通信講座で不安を減らす手もあります。合格率の実績で選ぶ人が多いアガルート測量士補講座の評判・合格率も参考にしてみてください。

その前に独学での戦い方を知りたい人は、数学が苦手でも合格できる？必要なレベルと合格戦略もあわせてどうぞ。

測量での三角関数③：辺の長さ・面積（正弦定理・余弦定理）

三角形の形が直角でないときは、正弦定理・余弦定理で辺や角を求めます。面積は「½ × 2辺 × 間の角のsin（S＝½ab・sinC）」で出せます。

使い分けは「向かい合う辺と角の組があれば正弦定理」「2辺と間の角・3辺なら余弦定理」。ここは1本にまとめてあるので、詳しくはこちらへ。

• 正弦定理と余弦定理、どっちを使う？（辺長・面積の求め方）
• 座標法による面積の計算

電卓が使えない試験でどう計算する？

測量士補試験は電卓の持ち込みができません。そのため、sin・cosの値は問題末尾の関数表から読み取り、割り算やルートは手計算（筆算）で進めます。

「割り算のひっ算が終わらない」という不安はよく聞きますが、出てくる型は限られています。土台になる知識は、次の記事で押さえられます。

• 電卓なしで測量計算を解くコツ
• 関数表の使い方（分・秒の角度はどうする？）
• 度分秒の読み方と変換方法
• ラジアンとは？角度計算での意味
• 測量計算で使う三平方の定理

三角関数が出た過去問（年度別に解く）

この記事の考え方が、そのまま使えます。

• 令和6年 No.6｜方向角と距離から座標を求める（cos・sin）
• 令和5年 No.7｜斜距離と高低角から標高を求める（sin）
• 令和6年 No.3｜正弦定理で辺の長さ（≒15.8m）
• 令和8年 No.3｜余弦定理と三角形の面積（≒49.5㎡）

一問一答

まとめ

今回は測量士補で使う三角関数（sin・cos・tan）を整理しました。

やっていることは「斜めに測った距離を、縦と横に分ける」だけ。迷ったら「測った角の隣辺＝cos／対辺＝sin」を図に当てはめれば決まります。

座標なら「北＝cos／東＝sin」、高さなら「高低差＝sin／水平距離＝cos」。この2つを押さえれば、計算問題の入口はもう怖くありません。

次は、実際の数値の引き方や個別の型を見ていきましょう。

正弦定理と余弦定理、どっちを使う？

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