測量計算で使う三平方の定理とは？座標差と距離の関係

三平方の定理とは、直角三角形において「斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しい」という関係を表す定理です。

式で表すと「c² = a² + b²」（cが斜辺）となります。

測量の座標計算では、2点間の水平距離を求める際に「距離 = √(ΔX² + ΔY²)」という形で使います。

ΔX（東西方向の座標差）とΔY（南北方向の座標差）が2辺にあたり、距離が斜辺にあたります。

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一言でいうと、「斜辺²＝縦²＋横²」という三平方の定理を使う話です。ソクタは「公園の斜めの道と縦横の道の長さを計算で求める。中学の『3・4・5』の三角形をそのまま測量に使う」みたいなイメージをしています。

三平方の定理の基本式

直角三角形の3辺をa・b・c（cが直角に対する斜辺）とすると、次の式が成り立ちます。

c² = a² + b²

斜辺cを求めるときは「c = √(a² + b²)」と変形します。

この形が測量計算で最もよく使われます。

たとえば直角を挟む2辺が3mと4mの場合、斜辺は√(9 + 16) = √25 = 5mです（いわゆる「3・4・5」の直角三角形）。

座標差と距離の計算への応用

2点A(X₁, Y₁)とB(X₂, Y₂)の間の水平距離は次の式で求めます。

作業規程の準則（下図）では、観測精度の区分が定められています。

距離AB = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²) = √(ΔX² + ΔY²)

たとえば令和3年第3問では、∠ABC = 90°・AB = BC = 20mの直角三角形ABCの斜辺ACを、三平方の定理を用いて AC = √(20² + 20²) = √800 = 20√2 ≈ 28.28m と求めています。

測量計算では座標差（ΔX・ΔY）を先に求めてから距離を計算する手順が基本です。

三平方の定理と余弦定理の違い

直角三角形には三平方の定理、一般の三角形には余弦定理を使います。

問題で「直角三角形」「座標差」というキーワードが出たら三平方の定理、「任意の角度を含む三角形」なら余弦定理を使います。

三平方の定理は直角三角形にしか適用できません。

一般の三角形は？正弦定理と余弦定理の使い分けはこちら

試験で問われやすいポイント

令和3年第3問（計算：測量計算の基礎）では、∠ABC = 90°・AB = BC = 20mの直角三角形を含む四角形ABCDの面積を求める問題で、三平方の定理を使って対角線 AC = √(20² + 20²) = √800 = 20√2 ≈ 28.28m（空欄ア）を計算する手順が出題されています。

「三平方の定理は直角三角形にしか使えない。一般の三角形には余弦定理を使う」という使い分けも問われます。

一問一答

まとめ

今回は測量計算で使う三平方の定理について説明しました。

三平方の定理は直角三角形の辺の関係を表す定理で、測量では座標差から2点間の距離を求めるときに「距離 = √(ΔX² + ΔY²)」として使います。

余弦定理との使い分けと計算手順を確実に身につけておきましょう。

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