GNSS基線ベクトルの計算、どっちを引くか・符号でこんがらがる人へ｜成分の足し引きと斜距離の出し方
ソクタ
「成分を引くのは分かるけど、どっちからどっちを引くの？」で固まりませんか？GNSS基線ベクトルの計算は、やることは足し引きと三平方だけ。つまずくのは「起点をそろえる向き」と「マイナスを引く符号」の2つです。ここで整理します。
この記事の要点
GNSS基線ベクトルは、地心直交座標系の成分（ΔX・ΔY・ΔZ）で与えられます。共通する点（起点または終点）をそろえて成分どうしを足し引きすれば、別の区間の基線が出ます。距離が必要なら斜距離＝√(ΔX²＋ΔY²＋ΔZ²)（3次元の三平方の定理）。ミスの大半は、①どちらを引くか（起点・終点のそろえ方）、②マイナスを引く符号処理、で起きます。
基線ベクトルの計算は、令和3年・令和4年・令和5年・令和8年と繰り返し出ているGNSSの計算問題です。公式は単純なのに正答率が割れるのは、数字を入れる前の「向きと符号の整理」でつまずく人が多いからです。
「基線解析とは何か（何を求める作業か）」は基線解析の記事にまとめています。この記事は、その基線ベクトルを使った計算に絞って解説します。
基線ベクトルとは、GNSS観測で求めた2点間の位置の差を、地心直交座標系のX軸・Y軸・Z軸方向の成分（ΔX・ΔY・ΔZ）で表したものです。「A→B」のように向き（起点→終点）を持つのが特徴です。
同じ点を共有する2本の基線が分かれば、足し引きで別の区間の基線が求められます。これがこの計算の核心です。
一言でいうと、「AからB」と「AからC」が分かれば「BからC」も分かる、という足し算引き算の話です。各方向（X・Y・Z）ごとに別々に計算するだけです。
計算の組み立て方（向きをそろえる）
ポイントは「共通する点」をそろえて、向きが通るように足し引きすることです。代表的な3パターンを押さえれば十分です。
① 起点が共通（A→B と A→C が分かる → B→C を求める）：B→C ＝ (A→C) − (A→B)
② 終点が共通（A→B と C→B が分かる → A→C を求める）：A→C ＝ (A→B) − (C→B)
③ 向きの反転（C→B しかない → B→C にしたい）：B→C ＝ −(C→B)。全成分の符号を入れかえます。反転して向きをつなげば A→C ＝ (A→B) ＋ (B→C) で合成できます。
どのパターンでも、計算はX・Y・Zの成分ごとに独立に行います。
斜距離は3次元の三平方の定理
区間の長さ（斜距離）を聞かれたら、足し引きで求めた成分を使って次の式に入れます。
斜距離 ＝ √( ΔX² ＋ ΔY² ＋ ΔZ² )
これは三平方の定理を3次元に拡張したものです。符号は2乗で消えるので、距離の計算では成分の符号は気にしなくてよい（足し引きの段階だけ符号に注意）と分かると、ぐっと楽になります。
計算例（令和5年 No.9）
終点Bが共通のパターンです。A→B と C→B が与えられ、A→C の斜距離を求めます。
| 区間 | ΔX | ΔY | ΔZ |
|---|---|---|---|
| A→B | ＋400.000 m | ＋100.000 m | ＋300.000 m |
| C→B | ＋200.000 m | −500.000 m | ＋500.000 m |
ステップ1：A→Cの成分を求める（終点Bが共通）
A→C ＝ (A→B) − (C→B)
ΔX ＝ 400 − 200 ＝ ＋200 m
ΔY ＝ 100 − (−500) ＝ ＋600 m （マイナスを引くので足し算）
ΔZ ＝ 300 − 500 ＝ −200 m
ステップ2：斜距離を三平方で求める
斜距離 ＝ √( 200² ＋ 600² ＋ (−200)² )
＝ √( 40,000 ＋ 360,000 ＋ 40,000 ) ＝ √440,000
≒ 663.325 m
よって斜距離は663.325mです（令和5年 No.9の正解は選択肢2）。
ミスを生む3つのポイント
① 引く向きを最初に決める。起点が共通なら「終点側 − 起点側」、終点が共通なら「起点側 − 相手」。求めたい基線の向き（A→C なら A発C着）が通るように式を立てるのがコツです。
② マイナスを引いたら足す。「100 −(−500)＝600」のように、符号反転の引き算でいちばん間違えます。ΔYだけ符号がちぐはぐ、という失点が定番です。
③ 向きを反転するときは全成分の符号を変える。C→B を B→C にするなら、ΔX・ΔY・ΔZ をすべて逆符号に。1つだけ変え忘れるミスに注意。距離計算では2乗するので符号は最後は消えます。
混同しやすい用語
起点が共通 と 終点が共通
「A→B・A→C」は起点Aが共通→差でB→C。「A→B・C→B」は終点Bが共通→A→C＝A→B−C→B。どちらが共通かで引く向きが変わります。
C→B と B→C
同じ2点でも向きが逆なら成分の符号がすべて逆。向きをそろえないとベクトルはつながりません。
基線解析 と 基線ベクトルの計算
基線解析は「観測データから基線ベクトルを求める作業（何を求めるか）」、この記事は「得られた基線ベクトルを足し引き・距離計算する」段階です。役割が違います。
一問一答
問題：基線ベクトルの成分(ΔX,ΔY,ΔZ)から斜距離を求める式は何か。
答え：斜距離＝√(ΔX²＋ΔY²＋ΔZ²)。3次元の三平方の定理です。
問題：A→B と A→C の基線ベクトルが分かっているとき、B→C はどう求めるか。
答え：起点Aが共通なので、B→C ＝ (A→C) − (A→B)。成分ごとに引き算します。
問題：ΔY＝100−(−500) の計算結果は −400 である。
〇か×か。
答え：×
マイナスを引くので足し算になり、100−(−500)＝＋600です。ここが符号の最頻ミスです。
GNSS基線ベクトルの計算が出た過去問（年度別に解く）
同じ「成分の足し引き＋三平方」の計算が、向き（起点共通・終点共通・向き反転）を変えて繰り返し出ています。
- 令和3年 No.8｜C→Bの斜距離（差→三平方）→ 574.456m
- 令和4年 No.9｜B→Cの成分（起点共通の差し引き）→ (−50, −400, −5)
- 令和5年 No.9｜A→Cの斜距離（終点共通・マイナス引き）→ 663.325m
- 令和8年 No.9｜A→Cの斜距離（向き反転して合成）→ 547.723m
まとめ
今回はGNSS基線ベクトルの計算について説明しました。
共通する点をそろえて成分（ΔX・ΔY・ΔZ）を足し引きし、距離が必要なら斜距離＝√(ΔX²＋ΔY²＋ΔZ²)で求めます。
正答を分けるのは計算力よりも前処理＝「引く向きをそろえる」「マイナスを引く符号処理」「向き反転は全成分」。ここを固定の手順にすれば、毎年の頻出計算を確実に取れます。
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参考法令・規格
- 測量法（昭和24年法律第188号）
- 公共測量作業規程の準則（国土交通省）第2編 基準点測量（GNSS測量）
- 測量士補 過去問（国土地理院）令和3年 No.8／令和4年 No.9／令和5年 No.9／令和8年 No.9
※ この記事の確認日：2026年6月
試験での問われ方｜ソクタの一言
基線ベクトルの計算は、式さえ正しく立てれば確実に取れる計算問題です。差がつくのは計算力ではなく「向きをそろえる」「符号を間違えない」という前処理。
本番では、数値を入れる前に「①どの点が共通か ②求めたい向きが通る式になっているか」を先に確認するクセをつけると、符号ミスでの取りこぼしが激減します。