間接水準測量の標高計算、器械高・目標高の符号でいつも迷う人へ｜高低角と斜距離の使い方

間接水準測量（かんせつすいじゅんそくりょう）とは、TSで測った高低角と斜距離から、三角形の関係を使って2点の高低差を計算で求める方法です。三角高低測量とも呼びます。レベルと標尺で直接測る水準測量と違い、離れた高い点や谷をまたいだ点の高さを測れるのが利点です。

観測するのは高低角 α（水平を0°として上下に測った角度）と斜距離 D（器械から目標までの直線距離）です。これに器械高・目標高・両差を組み合わせて標高を出します。

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一言でいうと、「斜めに測った距離を、角度を使って“高さの分”だけ取り出す」計算です。取り出した高低差に、器械の高さ・目標の高さ・地球のまるみ補正（両差）を足し引きして、最終的な標高にします。

計算式と、なぜその式になるのか

既知点に器械を据え、新点を視準して観測したときの新点の標高は、次の式で求めます。

中心になるのは D・sinα ＝ 高低差の本体です。斜距離Dを斜辺とする直角三角形で、高さ方向の辺は D×sin（高低角）になります。これは三角比そのものです。

そこに、器械や標的の据え付け高さのズレを補正します。器械高 i（据えた器械の高さ）は足す、目標高 f（視準した目標板の高さ）は引く。これが符号の核心です。視線は「器械の望遠鏡の高さ」から出て「目標板の高さ」に当たるので、器械側は底上げ（＋）、目標側は持ち上がった分を戻す（−）と考えると向きを間違えません。

最後の「両差」は、地球が丸いこと（球差）と光が曲がること（気差）による高さのズレの補正です。両差＝球差−気差で、正味プラス。標高には足すのが原則です。問題文で「両差＝0.10m」のように与えられることが多いので、見落とさず最後に足しましょう。

計算例①：高低角が負（下り）のとき（令和2年 No.7）

既知点Bから新点Aを観測した実際の数値で確認します。

ステップ1：高低差の本体 D・sinα を求める

高低角がマイナス（俯角＝下り）なので、sinも負になります。sin3°＝0.05234（関数表）なので、

D・sinα ＝ 950.00 × sin(−3°) ＝ 950.00 × (−0.05234) ≒ −49.72 m

ステップ2：各項を式に代入する

新点Aの標高 ＝ 350.00 ＋ 1.40 ＋ (−49.72) − 1.60 ＋ 0.10

＝ 350.00 − 49.72 − 0.10 ＝ 300.18 m

器械高は足す・目標高は引く・両差は足す。高低角が負なら D・sinα ごとマイナスになる点に注意します。

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計算例②：対向観測の平均高低角（令和5年 No.7）

精度を上げるため、A→BとB→Aの両方向から観測する対向観測がよく出ます。両差を消すために、2方向の高低角の大きさを平均して使います。

ステップ1：平均高低角　α ＝ (11°00′05″ ＋ 10°59′55″) ÷ 2 ＝ 11°00′00″

ステップ2：高低差　sin11°＝0.19081 なので、D・sinα ＝ 1,000 × 0.19081 ＝ 190.81 m。器械高−目標高 ＝ 1.500 − 1.600 ＝ −0.10 m を足して、高低差 ＝ 190.81 − 0.10 ＝ 190.71 m。

ステップ3：新点Bの標高　10.000 ＋ 190.71 ＝ 200.71 m。

D・sin11°＝190.81 だけで答えにしてしまうと、器械高−目標高の−0.10を足し忘れ、隣の選択肢（190.81寄り）に引っかかります。

この問題の詳しい解説（令和5年 No.7）へ

鉛直角（天頂距離）で与えられたら高低角に直す

TSが表示するのは多くの場合、真上（天頂）を0°として測る鉛直角（天頂距離）です。一方、計算で使うのは水平を0°とする高低角。両者は高低角 ＝ 90° − 鉛直角（天頂距離）の関係（90°の補角）です。

鉛直角が90°より小さければ見上げ＝仰角（＋）、90°より大きければ見下げ＝俯角（−）になります。天頂距離のまま sin に入れると高低差が出ないので、まず高低角へ直すのが鉄則です。

また、鉛直角を正反観測した値から高低角を出す問題（令和6年 No.5）もあります。このときは 高低角 ＝（反観測値 − 正観測値 − 180°）÷ 2、高度定数 ＝ 正観測値 ＋ 反観測値 − 360° を使い、各点の高度定数の差が較差になります。水平角と鉛直角の違いもあわせて確認しておくと混乱しません。

つまずきポイント

① 器械高は足す・目標高は引く。「器械側＋／目標側−」と固定で覚えます。図がない問題が多いので、自分で「器械→目標」の視線を1本描くと向きが見えます。

② 高低角の符号を式に反映する。仰角は＋（D・sinαも＋＝上り）、俯角は−（D・sinαも−＝下り）。鉛直角で与えられたら 90°−鉛直角 で高低角に直してから sin に入れます。

③ 両差は最後に足す。両差＝球差−気差で正味プラス。問題に値が与えられたら足し忘れないこと。対向観測のときは両差が消えるので、平均高低角を使えば両差を別途足す必要はありません。

高低角・鉛直角の計算が出た過去問（年度別に解く）

この記事の手順がそのまま使えます。

• 令和2年 No.7｜間接水準測量の標高計算（高低角−3°・300.18m）
• 令和2年 No.14｜高低角から標高を出して等高線交点までの地図上距離（27.0cm）
• 令和5年 No.7｜対向観測の平均高低角・三角高低測量（200.71m）
• 令和6年 No.5｜鉛直角の正反観測から高低角・高度定数の較差

一問一答

まとめ

今回は間接水準測量（三角高低測量）の標高計算について説明しました。

式は「既知点標高 ＋ 器械高 ＋ D・sinα − 目標高 ＋ 両差」の1つ。正答を分けるのは器械高＋／目標高−／高低角の符号／両差＋という“足す引く”の向きです。

鉛直角（天頂距離）で与えられたら、まず 90°−鉛直角 で高低角に直す。この固定手順にすれば確実に取れます。

角度の意味そのものや、直接水準測量の計算はこちらもどうぞ。

水平角と鉛直角の違いは？測角での使い分け

高低差とは？水準測量で標高を求めるときの計算方法

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