平成30年 測量士 午前 No.8の解説｜重み付き最確値（精度の違う距離の平均＝1532.501m）

問題（平成30年 午前 No.8）

ステップ1：重みを決める（1/σ²）

精度の違う測定値を平均するときは、精度がよい（標準偏差が小さい）ほど重くします。重みは1÷標準偏差²（分散の逆数）です。

計算を楽にするため、測定値をそのまま使わず基準値1,532.500mからの差d（mm）で計算します。

ステップ2：重み付き平均を計算する

重み付き平均差 ＝ Σ(重み×差) ÷ Σ(重み)。

Σ(P×d) ＝ (1/4)(−9) ＋ (1/16)(0) ＋ (1/25)(48) ＋ (1/16)(14)
　　　＝ −2.25 ＋ 0 ＋ 1.92 ＋ 0.875 ＝ 0.545
Σ(P) ＝ 1/4 ＋ 1/16 ＋ 1/25 ＋ 1/16 ＝ 0.25 ＋ 0.0625 ＋ 0.04 ＋ 0.0625 ＝ 0.415
重み付き平均差 ＝ 0.545 ÷ 0.415 ＝ ＋1.31 mm

ステップ3：最確値に戻す

基準値に、重み付き平均差を足します。

最確値 ＝ 1,532.500 ＋ 0.00131 ＝ 1,532.501 m

選択肢2の1,532.501mと一致します。精度のよいTS1（σ2cm）が−9mm側なので、単純平均（＋13.25mm→1,532.513m）より小さい側に引っ張られる、というのがこの重み付けの効果です。

この問題の典型ミス

単純平均してしまうのが定番のミスです。4つをただ平均すると(491+500+548+514)/4の差＝＋13.25mmで1,532.513m（選択肢4）になり、ひっかけの選択肢になっています。精度の違いを無視してはいけません。

重みは1/σ²（分散の逆数）。σそのものや1/σにしないこと。標準偏差が小さいほど重い、が正しい向きです。

基準値からの差で計算すると桁が小さくて楽ですが、最後に基準値へ戻すのを忘れないこと（＋1.31mmを1,532.500mに足す）。

まとめ

平成30年 午前 No.8は、重み付き最確値です。①重み＝1/σ² → ②重み付き平均差＝Σ(P×d)/ΣP＝＋1.31mm → ③最確値＝1,532.500＋0.00131＝1,532.501m（選択肢2）です。精度のよい測定ほど重く、が全体を貫くルールです。

重みや標準偏差があいまいな人は、先に最確値の記事で「重み付き平均」を、誤差と較差の記事で「標準偏差・分散」を固めると、この種の問題がすっと解けます。網平均もこの重み付けが土台です。

• 最確値と重み付き平均の求め方
• 水準の最小二乗計算（重み＝距離の逆数・令和元年 午後 No.2）
• 厳密網平均と簡易網平均の違い

最確値や重み付き平均は、独学だと重みの決め方でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の流れを確かめる手もあります。

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