平成29年 測量士 午前 No.15の解説｜放射法の標高の精度（3.8mm）
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平成29年 午前 No.15は、放射法で求める標高の精度（標準偏差）を求める計算問題です。標高Z＝D·sinθに誤差伝播の法則を当て、距離の誤差と角度の誤差を合成します。
問題（平成29年 午前 No.15）
TSを用いて放射法で標高を求める。既知点AからBをTSで観測し、測定距離120.000m・高低角30°00′00″を得た。距離測定の精度（標準偏差）が5mm＋5×10⁻⁶D、角度測定の精度が5″のとき、求点Bの標高の計算結果の精度（標準偏差）はいくらか。（距離と角度は互いに影響しない、1ラジアン＝2×10⁵秒）
選択肢：1. 3.8mm 2. 5.1mm 3. 5.6mm 4. 10.5mm 5. 16.8mm
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成29年 測量士試験 午前 No.15）。問題文・数表は要約。数値・正解は公表資料で確認しています。
ステップ1：距離と角度の標準偏差を出す
距離の標準偏差は式に距離を入れて計算し、角度は秒をラジアンに直します。
σD ＝ 5mm ＋ 5×10⁻⁶ × 120,000mm ＝ 5 ＋ 0.6 ＝ 5.6 mm
σθ ＝ 5″ ÷ (2×10⁵) ＝ 2.5×10⁻⁵ rad
ステップ2：誤差伝播の法則を当てる
標高はZ＝D·sinθ。距離Dと角度θが独立なので、σZ²＝(sinθ)²σD²＋(D·cosθ)²σθ²です。
距離の項 ＝ (sin30° × 5.6)² ＝ (0.5 × 5.6)² ＝ (2.8)² ＝ 7.84
角度の項 ＝ (D·cos30° × σθ)² ＝ (120,000 × 0.866 × 2.5×10⁻⁵)² ≒ (2.598)² ≒ 6.75
ステップ3：合成して標高の標準偏差を求める
σZ ＝ √(7.84 ＋ 6.75) ＝ √14.59 ≒ 3.8 mm
選択肢1の3.8mmと一致します。
この問題の典型ミス
角度の標準偏差をラジアンに直さずに使うのが定番のミスです。5″を1ラジアン＝2×10⁵秒で割って2.5×10⁻⁵radにしてから掛けます。
2つの誤差は分散（2乗）で足して最後に平方根をとります。単純に足したり、mとmmを混ぜたりしないよう注意します。
まとめ
平成29年 午前 No.15は、放射法の標高の精度を誤差伝播で求める計算問題です。σZ²＝(sinθ)²σD²＋(D·cosθ)²σθ²に、σD＝5.6mm・σθ＝2.5×10⁻⁵radを入れて、σZ＝約3.8mm（選択肢1）です。「距離の項＋角度の項を分散で合成」がコツです。
誤差伝播の計算は、独学だと「分散で足す」「ラジアンに直す」でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「平成29年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.15（問題文・数表は要約引用、正解＝1・数値は公表資料で確認）
- 誤差伝播の法則（Z＝D·sinθの標準偏差 σZ²＝(sinθ)²σD²＋(D·cosθ)²σθ²）
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝1（3.8 mm）
標高Z＝D·sinθの誤差伝播で、σZ²＝(sinθ)²σD²＋(D·cosθ)²σθ²です。σD＝5.6mm、σθ＝2.5×10⁻⁵radを入れると、σZ＝√(7.84＋6.75)＝約3.8mmです。