令和元年 測量士 午後 No.2の解説｜問D 水準測量の点検と最小二乗計算
本ページはプロモーション（アフィリエイト広告）を含みます。
令和元年 午後 No.2の解説です。問A〜Cは基準点測量・セミ・ダイナミック補正（令和4年 No.2とほぼ同じ流れ）なので、この記事では計算の山場である問D（1級水準測量）を扱います。水準の較差・環閉合差の点検と、最小二乗（網平均）で新点の標高を決める計算が問われます。
問D（1級水準測量）の問題
既知点A・Bと新点S・Tからなる水準路線で1級水準測量を実施。観測高低差・観測距離が表で与えられ、次を答える。
問D-1 検測（A→P・B→Q・B→R）の較差が許容範囲内か確認（許容＝2.5mm√S）。問D-2 環閉合差（A→S→T→A、B→S→T→B）が許容範囲内か確認（許容＝2mm√S）。問D-3 観測方程式と重みから、最小二乗で新点S・Tの標高を決める（ア〜コ）。
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和元年 測量士試験 午後 No.2 問D）。問題文・数表は要約。数値は公表資料で確認しています。
問D-1：検測の較差の点検
較差（検測結果 − 前回の観測高低差）を、許容範囲 2.5mm√S（Sは片道距離km）と比べます。
| 路線 | 較差 | 許容 2.5√S | 判定 |
|---|---|---|---|
| A→P（S＝4.00） | 0.6mm | 2.5√4＝5.0mm | 範囲内 |
| B→Q（S＝3.24） | 4.6mm | 2.5√3.24＝4.5mm | 超過 |
| B→R（S＝5.76） | 4.8mm | 2.5√5.76＝6.0mm | 範囲内 |
√の中が平方数（3.24＝1.8²、5.76＝2.4²）になっているので、√3.24＝1.8、√5.76＝2.4と暗算できます（電卓の工夫）。B→Qだけ較差4.6mm＞許容4.5mmで超過、と判定します。
問D-2：環閉合差の点検
環（ループ）を一周した高低差の合計が、許容 2mm√S 内かを見ます。
A→S→T→A ＝ (+5.4029)＋(−2.8022)＋(−2.5983)＝+0.0024m＝2.4mm（距離計7.00km、許容2√7≒5.3mm → 範囲内）。
B→S→T→B ＝ (−2.6027)＋(−2.8022)＋(+5.4012)＝−0.0037m＝−3.7mm（同・範囲内）。
問D-3：最小二乗（網平均）で標高を決める
ここが山場です。網平均計算と同じで、観測方程式を立て、重みをかけて最小二乗で最確値を求めます。
ステップ1：観測方程式 各路線の残差Vを、新点S・Tの仮定標高の補正量XS・XTで表します（アは＋0.0029、イは＋0.0012）。
V₁＝XS−0.0029 V₂＝−XS−0.0027 V₃＝−XT−0.0012
V₄＝−XS＋XT＋0.0022 V₅＝XT＋0.0017
ステップ2：重み（距離の逆数） 重み P＝1/S。距離1.00km→1.00（エ）、2.00km→0.50（ウ）、4.00km→0.25（オ）。距離が短い路線ほど重く扱います。
ステップ3：正規方程式 重みをかけて未知数XS・XTの連立式を作ります。
1.75（キ）XS − 0.25 XT ＝ 0.0021
− 0.25 XS ＋ 1.75（ク）XT ＝ −0.0026（カ）
ステップ4：解く この連立を解くと、XS＝0.0010（ケ）（XT＝−0.0013）。
ステップ5：標高 仮定標高に補正量を足します。S点の仮定標高15.4000mに0.0010mを足して、
S点の標高（コ）＝15.4000＋0.0010＝15.4010m（T点＝12.6000−0.0013＝12.5987m）。
これは、まさに網平均計算（観測値のズレを最小二乗でならして最確値を決める）を水準測量でやったものです。重みが距離の逆数、というのがポイントです。
この問題の典型ミス
重みを距離そのものにするのが定番のミスです。重みは距離の逆数（1/S）。距離が短い＝精度が良い＝重い、が正しい向きです。
D-1の較差点検では、√3.24や√5.76を平方数と気づいて暗算すると速い（1.8²・2.4²）。電卓は桁が限られるので、この工夫が効きます。
観測方程式の符号（XS・XTの係数、定数項の＋−）を取り違えないこと。路線の向き（どちらからどちらへ）で符号が決まります。
まとめ
令和元年 午後 No.2の問Dは、水準測量の点検（較差・環閉合差）と、最小二乗（網平均）による標高決定です。較差は2.5mm√S、環閉合差は2mm√Sで点検し、標高は「観測方程式 → 重み1/S → 正規方程式 → 補正量 → 標高」の流れで、S点15.4010mと求まります。
網平均や重み付き平均があいまいな人は、先に網平均計算の記事で最小二乗の考え方を固めてから、この過去問で流れをなぞると効きます。
水準の網平均計算は、独学だと式の立て方でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の雰囲気を確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月10日）
- 国土地理院「令和元年 測量士試験 問題及び解答例」午後 No.2 問D（問題文・数表は要約引用、正解・数値は公表資料で確認）
- 水準測量の較差・環閉合差の許容範囲、観測方程式・重み（距離の逆数）による最小二乗（網平均）の標準的な計算
- 公共測量作業規程の準則（国土交通省）第2編 基準点測量（水準測量）
※ この記事の確認日：2026年7月
▼測量士の過去問解説・関連記事▼
▼カテゴリ一覧▼
スキマ時間に
答え（先に確認）
D-1 A→P＝0.6mm（許容5.0mm・範囲内）／B→Q＝4.6mm（許容4.5mm・超過）／B→R＝4.8mm（許容6.0mm・範囲内）
D-2 A→S→T→A＝2.4mm、B→S→T→B＝3.7mm（いずれも許容約5.3mm内）
D-3 ア＝0.0029／イ＝0.0012／ウ＝0.50／エ＝1.00／オ＝0.25／カ＝−0.0026／キ＝1.75／ク＝1.75／ケ＝0.0010／コ＝15.4010