令和6年 測量士 午前 No.16の解説｜TS点の水平位置の精度（σX＝3mm・σY＝5mm）
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令和6年 午前 No.16は、放射法で設置したTS点の水平位置の精度（標準偏差）を求める計算問題です。Xc＝XA＋D·cosθ、Yc＝YA＋D·sinθに誤差伝播の法則を当てます。
問題（令和6年 午前 No.16）
基準点A(160,50)にTSを整置し、放射法でTS点Cを観測。基準点Bに向かう方向を基準にC方向を測った水平角α＝285°00′00″、水平距離D＝100.000m。σD＝5mm、σα＝5″。基準点B(20,190)。TS点CのX・Y座標の標準偏差σXc・σYcはいくらか。（θ＝T＋α−360、σθ＝σα、Xc＝XA＋D·cosθ、Yc＝YA＋D·sinθ、1ラジアン＝2×10⁵秒）
選択肢（σXc／σYc）：1. 3mm/3mm 2. 3mm/5mm 3. 4mm/5mm 4. 5mm/3mm 5. 5mm/5mm
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和6年 測量士試験 午前 No.16）。問題文・数表・図は要約（図は原本参照）。数値・正解は公表資料で確認しています。
ステップ1：方向角θを求める
まず基準点A→Bの方向角Tを座標から求め、θ＝T＋α−360で計算します。
A→B：ΔX ＝ 20−160 ＝ −140、ΔY ＝ 190−50 ＝ ＋140 → T ＝ 135°
θ ＝ T ＋ α − 360 ＝ 135 ＋ 285 − 360 ＝ 60°
ステップ2：誤差伝播の法則を当てる
Xc＝XA＋D·cosθ、Yc＝YA＋D·sinθ。距離と角度は独立なので、それぞれ分散を足します。σθ＝5″÷(2×10⁵)＝2.5×10⁻⁵rad。D＝100,000mm。
σXc² ＝ (cosθ·σD)² ＋ (D·sinθ·σθ)² ＝ (0.5×5)² ＋ (100,000×0.866×2.5×10⁻⁵)² ＝ 6.25 ＋ 4.69 ≒ 10.9
σYc² ＝ (sinθ·σD)² ＋ (D·cosθ·σθ)² ＝ (0.866×5)² ＋ (100,000×0.5×2.5×10⁻⁵)² ＝ 18.75 ＋ 1.56 ≒ 20.3
ステップ3：平方根をとる
σXc ＝ √10.9 ≒ 3 mm σYc ＝ √20.3 ≒ 5 mm
σXc≒3mm、σYc≒5mmで、組合せは選択肢2です。
この問題の典型ミス
方向角θの計算（θ＝T＋α−360）を飛ばすのが定番のミスです。まず座標からA→Bの方向角T＝135°を出し、観測した水平角αを足して360を引きます。
X・Yでcosとsinが入れ替わる点に注意。σXcは距離の項がcos、σYcはsinです。角度はラジアンに直します。
まとめ
令和6年 午前 No.16は、TS点の水平位置の精度を誤差伝播で求める計算問題です。θ＝60°、σXc＝√(6.25＋4.69)≒3mm、σYc＝√(18.75＋1.56)≒5mmで、答えは選択肢2です。「方向角θを出す」「X・Yでcos・sinが入れ替わる」がコツです。
誤差伝播や方向角の計算は、独学だと「θの求め方」でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「令和6年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.16（問題文・数表は要約引用、正解＝2・数値は公表資料で確認）
- TS点の水平位置の精度（θ＝T＋α−360・誤差伝播 σXc²＝(cosθ·σD)²＋(D·sinθ·σθ)²）
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝2（σXc＝3mm・σYc＝5mm）
A→Bの方向角T＝135°（ΔX＝−140、ΔY＝＋140から）。θ＝T＋α−360＝135＋285−360＝60°。σθ＝5″÷(2×10⁵)＝2.5×10⁻⁵rad。σXc²＝(cosθ·σD)²＋(D·sinθ·σθ)²＝6.25＋4.69≒10.9→3.3mm、σYc²＝(sinθ·σD)²＋(D·cosθ·σθ)²＝18.75＋1.56≒20.3→4.5mm。σXc≒3mm、σYc≒5mmです。