令和5年 測量士 午前 No.14の解説｜放射法の標高の精度（5.27mm）
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令和5年 午前 No.14は、放射法で求める標高の精度（標準偏差）を求める計算問題です。標高Z＝D·sinθに誤差伝播の法則を当て、距離の誤差と角度の誤差を合成します。
問題（令和5年 午前 No.14）
TSを用いて放射法で標高（高低差Z）を求める。斜距離D₀＝200.000m、高低角θ₀＝30°00′00″。距離測定の精度（標準偏差）は(5＋5×10⁻⁶D)mm、角度測定の精度は5″。高低差Zの標準偏差σ_Zはいくらか。（Z＝D·sinθ、σ_Z²＝(∂Z/∂D)²σ_D²＋(∂Z/∂θ)²σ_θ²、1ラジアン＝2×10⁵秒）
選択肢：1. 3.91mm 2. 4.13mm 3. 5.27mm 4. 6.19mm 5. 6.76mm
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和5年 測量士試験 午前 No.14）。問題文・数表・図は要約（図は原本参照）。数値・正解は公表資料で確認しています。
ステップ1：距離と角度の標準偏差を出す
距離の標準偏差は式に距離を入れ、角度は秒をラジアンに直します。
σ_D ＝ 5 ＋ 5×10⁻⁶ × 200,000 ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6 mm
σ_θ ＝ 5″ ÷ (2×10⁵) ＝ 2.5×10⁻⁵ rad
ステップ2：誤差伝播の法則を当てる
Z＝D·sinθで、∂Z/∂D＝sinθ、∂Z/∂θ＝D·cosθ。距離と角度は独立なので分散を足します。
距離の項 ＝ (sin30°×6)² ＝ (0.5×6)² ＝ 9
角度の項 ＝ (200,000×cos30°×2.5×10⁻⁵)² ＝ (200,000×0.866×2.5×10⁻⁵)² ≒ (4.33)² ≒ 18.75
ステップ3：合成して標高の標準偏差を求める
σ_Z ＝ √(9 ＋ 18.75) ＝ √27.75 ≒ 5.27 mm
選択肢3の5.27mmと一致します。
この問題の典型ミス
角度の標準偏差をラジアンに直さずに使うのが定番のミスです。5″を1ラジアン＝2×10⁵秒で割って2.5×10⁻⁵radにしてから掛けます。
2つの誤差は分散（2乗）で足して最後に平方根をとります。単純に足したり、mとmmを混ぜたりしないよう注意します。
まとめ
令和5年 午前 No.14は、放射法の標高の精度を誤差伝播で求める計算問題です。σ_Z²＝(sinθ)²σ_D²＋(D·cosθ)²σ_θ²に、σ_D＝6mm・σ_θ＝2.5×10⁻⁵radを入れて、σ_Z＝約5.27mm（選択肢3）です。「距離の項＋角度の項を分散で合成」がコツです。
誤差伝播の計算は、独学だと「分散で足す」「ラジアンに直す」でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「令和5年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.14（問題文・数表は要約引用、正解＝3・数値は公表資料で確認）
- 誤差伝播の法則（Z＝D·sinθの標準偏差 σ_Z²＝(sinθ)²σ_D²＋(D·cosθ)²σ_θ²）
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝3（5.27 mm）
σ_D＝5＋5×10⁻⁶×200,000＝6mm、σ_θ＝5″÷(2×10⁵)＝2.5×10⁻⁵rad。σ_Z²＝(sin30°×6)²＋(200,000×cos30°×2.5×10⁻⁵)²＝9＋18.75＝27.75で、σ_Z＝√27.75≒5.27mmです。