令和2年 測量士 午前 No.4の解説｜三次元の座標回転（X軸まわり30°）
本ページはプロモーション（アフィリエイト広告）を含みます。
令和2年 午前 No.4は、三次元（3D）の座標回転の問題です。2次元の回転（令和元年 No.4）の3D版で、Z軸まわりの回転式を参考に、X軸まわりの回転式を自分で立てます。「回転の軸は動かさず、残り2つを回す」がカギです。
問題（令和2年 午前 No.4）
三次元直交座標系で、点(x, y, z)をZ軸まわりにθ回転させた点(x', y', z')は式4で表される（x'＝x·cosθ−y·sinθ、y'＝x·sinθ+y·cosθ、z'＝z）。点P(2.000, −1.000, 3.000)をZ軸まわりに60°回転させると、P'(1.866, 1.232, 3.000)になる。このP'をさらにX軸まわりに30°回転させた点P''の座標はいくらか。Z軸まわりの式4を参考にX軸まわりの回転式を立てて計算し、最も近い組合せを選べ。
選択肢：1.(−0.134, 2.232, 3.000) 2.(1.000, 2.000, 3.000) 3.(1.866, −1.261, 2.567) 4.(1.866, −0.433, 3.214) 5.(1.866, 0.451, 4.098)
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和2年 測量士試験 午前 No.4）。問題文・数式は要約。数値・正解は公表資料で確認しています。
考え方：回転の軸は動かさない
3Dの回転は、回転の軸になる座標はそのまま、残りの2つを2次元の回転式で回すだけです。Z軸まわり（式4）は、zを固定してx・yを回していました。同じように、X軸まわりはxを固定してy・zを回します。
x″ ＝ x'（不変）
y″ ＝ y'·cosθ − z'·sinθ
z″ ＝ y'·sinθ + z'·cosθ
Z軸まわりの式「x·cosθ−y·sinθ／x·sinθ+y·cosθ」を、そのままy・zに置きかえた形です。
計算：P'(1.866, 1.232, 3.000)をX軸まわりに30°
cos30°＝0.866、sin30°＝0.5を使います。x″はP'のxのまま。
x″ ＝ 1.866（不変）
y″ ＝ 1.232×0.866 − 3.000×0.5 ＝ 1.067 − 1.500 ＝ −0.433
z″ ＝ 1.232×0.5 + 3.000×0.866 ＝ 0.616 + 2.598 ＝ 3.214
P''(1.866, −0.433, 3.214)で、選択肢4と一致します。x座標がP'のまま変わっていないのが、X軸まわりの回転の目印です。
この問題の典型ミス
回転の軸になる座標まで回してしまうのが定番のミスです。X軸まわりならxは不変。y・zだけを回します。選択肢1・2はxが変わっており、これは軸の取り違えのひっかけです。
2次元の回転式の符号（y''の式はsinθの前がマイナス、z''の式はプラス）を、Z軸まわりの式4と同じ形にそろえます。どの2座標を回すかを間違えないこと（X軸まわり→y・z）。
cos・sinの値は関数表から。cos30°＝0.866、sin30°＝0.5を、y・zに正しく割り当てます。
まとめ
令和2年 午前 No.4は、三次元の座標回転です。①X軸まわりはxが不変 → ②y・zを2次元の回転式で回す → ③y''＝−0.433、z''＝3.214で、P''(1.866, −0.433, 3.214)（選択肢4）です。「軸は固定、残り2つを回す」が3D回転の芯です。
回転や座標変換があいまいな人は、2次元の回転（原点まわり）で基本式を、地心直交座標で3D座標の感覚を固めると、この種の問題がすっと解けます。
座標や回転の計算は、独学だと軸の扱いや符号でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「令和2年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.4（問題文・数式は要約引用、正解＝4・数値は公表資料で確認）
- 三次元の座標回転（回転軸は不変、残り2座標を2次元の回転式で回す）、回転行列
- 三角関数（正弦・余弦）と関数表の読み方
※ この記事の確認日：2026年7月
▼測量士の過去問解説・関連記事▼
▼カテゴリ一覧▼
スキマ時間に
答え＝4（1.866, −0.433, 3.214）
X軸まわりの回転はxが不変。y・zを2次元の回転式で回して、y''＝−0.433、z''＝3.214になります。