令和元年 測量士 午前 No.4の解説｜回転行列による座標回転（θ＝40°）

問題（令和元年 午前 No.4）

解き方1：回転式に代入して連立で解く

回転式に点P(−2.0, 1.0)を入れると、回転後の座標(X, Y)＝(−2.1749, −0.5195)について2本の式ができます。

X＝−2.0·cosθ − 1.0·sinθ ＝ −2.1749　→　2cosθ ＋ sinθ ＝ 2.1749　…①
Y＝−2.0·sinθ ＋ 1.0·cosθ ＝ −0.5195　→　cosθ − 2sinθ ＝ −0.5195　…②

①×2 ＋ ② で sinθ を消すと、cosθ が求まります。

①×2：4cosθ ＋ 2sinθ ＝ 4.3498
＋②：cosθ − 2sinθ ＝ −0.5195
─────────────
5cosθ ＝ 3.8303　→　cosθ ＝ 0.7661

cosθ＝0.7661となるθは、関数表からθ＝40°（cos40°＝0.766）。選択肢2です。

解き方2：選択肢を代入して確かめる（試験ではこちらが速い）

択一なので、選択肢の角度を回転式に入れて、(−2.1749, −0.5195)に合うかを見るのが速いです。θ＝40°（cos40°＝0.766、sin40°＝0.643）で試します。

X＝−2.0×0.766 − 1.0×0.643 ＝ −1.532 − 0.643 ＝ −2.175（≒−2.1749）
Y＝−2.0×0.643 ＋ 1.0×0.766 ＝ −1.286 ＋ 0.766 ＝ −0.520（≒−0.5195）

両方ともぴたりと合うので、θ＝40°で確定です。連立を解かなくても、関数表のcos・sinを代入すれば1回で当てられます。

この問題の典型ミス

回転式の符号（Xの式のsinθの前がマイナス）を間違えるのが定番のミスです。反時計回りは X＝xcosθ−ysinθ、Y＝xsinθ+ycosθ。Xで「−ysinθ」、Yで「+xsinθ」と、符号の位置を覚えておきます。

時計回りと反時計回りで符号が入れ替わります。時計回りなら回転行列の−sinθとsinθが逆になります。問題文の向き（この問題は反時計回り）を確認します。

連立で解くとき、①×2して②と足す（または引く）操作で、消す文字（sinθかcosθか）を取り違えないこと。cosθを残したいならsinθの係数をそろえて消します。

まとめ

令和元年 午前 No.4は、回転行列による座標回転です。回転式 X＝xcosθ−ysinθ・Y＝xsinθ+ycosθ に点Pを代入し、連立を解くか選択肢を代入して、cosθ＝0.7661 → θ＝40°（選択肢2）と求まります。試験では選択肢代入（関数表のcos・sinを入れる）が速くて確実です。

三角関数の値の読み方があいまいな人は、先に三角関数の計算教材で「cos・sinを表から読む」練習をしておくと、回転・座標・方向角の計算がまとめて楽になります。回転の応用は座標変換（相似変換）で扱っています。

• 測量の三角関数（cos・sinを表から読む）
• 座標変換（相似変換）の観測方程式（平成30年 午後 No.3）
• TS観測から基準面上の距離（令和元年 午前 No.8）

座標や回転の計算は、独学だと符号や表の読み方でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の流れを確かめる手もあります。

▶ アガルートの無料資料請求・サンプル講義を見る

料金・特典・講座内容は公式で要確認。