平成30年 測量士 午前 No.4の解説｜点まわりの座標回転（中心Aで40°回転）
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平成30年 午前 No.4は、点まわりの座標回転の問題です。原点まわりの回転（令和元年 No.4）の一歩先で、回転の中心が原点ではない点Aになります。「Aを原点に移してから回す」の3ステップがカギです。
問題（平成30年 午前 No.4）
原点(0,0)を中心に角度θ回転させる式は、X＝x·cosθ−y·sinθ、Y＝x·sinθ+y·cosθ（回転行列表記）である。点P(2.0, −1.0)を、点A(3.0, 1.0)を中心に40°回転させたときの(X, Y)の組合せとして最も適当なものはどれか。
選択肢：1.(0.948, 0.111) 2.(1.034, −0.065) 3.(2.573, −1.195) 4.(3.328, −1.212) 5.(3.520, −1.175)
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成30年 測量士試験 午前 No.4）。問題文・数式は要約。数値・正解は公表資料で確認しています。
考え方：回転の中心を原点にそろえる
用意されている回転式は原点まわりのものだけ。中心が点Aのときは、いったんAを原点に移してから回して、また戻す、という3ステップにします。
① 中心を原点へ：点からAを引く（P − A）
② 原点まわりに回転：X′＝x·cosθ−y·sinθ、Y′＝x·sinθ+y·cosθ
③ 元へ戻す：Aを足す
ステップ1：Aを原点に移す（P − A）
P − A ＝（2.0 − 3.0, −1.0 − 1.0）＝（−1.0, −2.0）
ステップ2：原点まわりに40°回転
cos40°＝0.766、sin40°＝0.643（関数表）を使います。
X′＝(−1.0)×0.766 −(−2.0)×0.643 ＝ −0.766 ＋ 1.286 ＝ 0.520
Y′＝(−1.0)×0.643 ＋(−2.0)×0.766 ＝ −0.643 − 1.532 ＝ −2.175
ステップ3：Aを足し戻す
X ＝ 0.520 ＋ 3.0 ＝ 3.520 ／ Y ＝ −2.175 ＋ 1.0 ＝ −1.175
(X, Y)＝(3.520, −1.175)で、選択肢5と一致します。中心Aから見た位置を回して、Aの座標に戻す、という流れです。
この問題の典型ミス
P−Aを忘れて、点Pをそのまま原点まわりに回してしまうのが定番のミスです。回転の中心がAなので、まずAを原点に移すこと。戻すのも忘れずに（引いたAを最後に足す）。
選択肢2(1.034, −0.065)は、P−Aを回転させただけで戻し忘れた値に近く、選択肢3はPをそのまま回した値に近い、といったひっかけになっています。3ステップを最後までやり切ります。
回転式の符号（Xの式はsinθの前がマイナス）も、原点まわりの回転と同じ。反時計回りで X＝xcosθ−ysinθ、Y＝xsinθ+ycosθです。
まとめ
平成30年 午前 No.4は、点まわりの座標回転です。①P−A＝(−1.0,−2.0) → ②40°回転で(0.520,−2.175) → ③A(3.0,1.0)を足して(3.520,−1.175)（選択肢5）です。「中心を原点にそろえる→回す→戻す」は、座標変換全体で使う考え方です。
回転や座標変換があいまいな人は、原点まわりの回転で回転式の基本を、相似変換で「回転＋拡大＋平行移動」を固めると、この3つがひとつながりで理解できます。
座標や回転の計算は、独学だと平行移動と回転の順番でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「平成30年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.4（問題文・数式は要約引用、正解＝5・数値は公表資料で確認）
- 任意の点を中心とした回転（平行移動→原点まわりの回転→平行移動戻し）、回転行列
- 三角関数（正弦・余弦）と関数表の読み方
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝5（X＝3.520、Y＝−1.175）
Aを原点に移す（P−A）→ 40°回転 → Aを足し戻す、の3ステップで求めます。