令和5年 測量士 午前 No.4の解説｜三次元の座標回転（y軸まわり30°）
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令和5年 午前 No.4は、三次元の座標を回転軸まわりに回転させる行列を選ぶ問題です。回転軸の座標は変わらず、残りの2つの座標が回るのがポイントです。三角関数が土台です。
問題（令和5年 午前 No.4）
z軸のまわりの回転の式（下記）を参考に、点(x,y,z)をy軸のまわりに30°回転させたときの式を選ぶ。z軸回転は (x',y',z') ＝ [[cosθ,−sinθ,0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]] (x,y,z)。
選択肢は5つの3×3回転行列（1/2倍の形）。答えは、y軸まわりの回転で x と z が回り y が不変になる行列です。
選択肢：1〜5（詳細は原本参照）
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和5年 測量士試験 午前 No.4）。問題文・数表・図は要約（図は原本参照）。数値・正解は公表資料で確認しています。
ステップ1：回転軸の座標は不変
与えられたz軸回転の行列では、3行3列目が1でzが不変、xとyが回っています。同じ考え方で、y軸まわりの回転ではyが不変で、xとzが回ります。
y軸まわりの回転行列
Ry ＝ [[cosθ, 0, sinθ], [0, 1, 0], [−sinθ, 0, cosθ]]
2行2列目が1（y不変）で、残りのx・zの部分に cosθ・sinθ が入ります。符号の位置は、z軸回転の式（−sinθが上）と同じ向きにそろえます。
ステップ2：θ＝30°の値を入れる
cos30°＝√3/2、sin30°＝1/2です。各要素に入れて、共通の1/2でくくります。
Ry ＝ [[√3/2, 0, 1/2], [0, 1, 0], [−1/2, 0, √3/2]] ＝ (1/2)[[√3, 0, 1], [0, 2, 0], [−1, 0, √3]]
これは選択肢5と一致します。
この問題の典型ミス
回転軸（y）の座標まで回してしまうのが定番のミスです。y軸まわりなら、真ん中（y）は不変で1・0・0。回すのはxとzだけです。回転軸を取り違えないようにします。
符号の位置（−sinθがどこに入るか）も、与えられたz軸回転の式に合わせます。x・zのどちらに−sinθを付けるかで別の選択肢になります。
まとめ
令和5年 午前 No.4は、y軸まわりの三次元回転行列を選ぶ問題です。y不変で、xとzが回る Ry＝[[cos,0,sin],[0,1,0],[−sin,0,cos]]にθ＝30°を入れると、(1/2)[[√3,0,1],[0,2,0],[−1,0,√3]]＝選択肢5です。「回転軸の座標は不変」を軸にします。
三次元の回転行列は、独学だと「どの軸が不変か」でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「令和5年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.4（問題文・数表は要約引用、正解＝5・数値は公表資料で確認）
- 三次元の座標回転（回転軸の座標は不変・y軸回転行列）
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝5
y軸まわりの回転はyが不変で、xとzが回ります。回転行列はRy＝[[cosθ,0,sinθ],[0,1,0],[−sinθ,0,cosθ]]。θ＝30°でcos30°＝√3/2、sin30°＝1/2なので、(1/2)[[√3,0,1],[0,2,0],[−1,0,√3]]となり、選択肢5です。