令和4年測量士午前 No.4の解説｜三次元の回転行列

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令和4年午前 No.4は、三次元の回転行列の問題です。z軸まわりの回転行列を手がかりに、x軸・y軸まわりの回転行列の組合せを選びます。

問題（令和4年午前 No.4）

三次元直交座標系で、点（x, y, z）をz軸まわりに角φzだけ回転させた点（x', y', z'）は、次の行列で表される。

Rz ＝［［cosφz, −sinφz, 0］,［sinφz, cosφz, 0］,［0, 0, 1］］

これを参考に、x軸まわりに角φxだけ回転させる行列 Rx と、y軸まわりに角φyだけ回転させる行列 Ry の組合せとして最も適当なものはどれか（回転の向きは図4に示す向き）。

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和4年測量士試験午前 No.4）。問題文・数式は要約、回転の向きは図4を参照してください。正解は公表資料で確認しています。

答え＝4

Rx ＝［［1,0,0］,［0,cosφx,−sinφx］,［0,sinφx,cosφx］］、Ry ＝［［cosφy,0,sinφy］,［0,1,0］,［−sinφy,0,cosφy］］。この組合せである4が正解です。

回転行列には、「回転軸の行・列は動かさず、残り2つの座標に同じ形の回転を当てはめる」という決まりがあります。

① z軸まわり（与えられた式）を観察する
Rzは、z（3番目）をそのまま残し（3行3列が1、他は0）、残りの (x, y) に［［cos, −sin］,［sin, cos］］の2×2回転を当てはめています。

② x軸まわり Rx
x（1番目）を残し、残りの (y, z) に同じ2×2回転を当てはめます。
Rx ＝［［1, 0, 0］,［0, cosφx, −sinφx］,［0, sinφx, cosφx］］

③ y軸まわり Ry
y（2番目）を残し、残りの (z, x) に同じ2×2回転を当てはめます。x・zの並び順の関係で、符号の位置が Rx・Rz と入れ替わり、
Ry ＝［［cosφy, 0, sinφy］,［0, 1, 0］,［−sinφy, 0, cosφy］］

この Rx と Ry の組合せは選択肢4にあたります。よって正解は4です。

【覚え方】回転軸の番号の行・列は「1と0」で固定。残り2座標に cos・sin を置き、y軸まわりだけ sin の符号の位置が反対（cos, 0, +sin ／ −sin, 0, cos）になる、と覚えると迷いません。実際の符号（＋か−か）は、図で示された回転の向きに合わせます。

参考（確認日：2026年7月11日）

※ この記事の確認日：2026年7月

この記事を書いた人

測量士補・測量士試験の用語・計算・法規を、国土地理院の公式情報と作業規程の準則に照らして整理しています。