平成30年 測量士 午前 No.14の解説｜放射法の標高の精度（3.5mm）
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平成30年 午前 No.14は、放射法で求める標高の精度（標準偏差）を求める計算問題です。標高Z＝D·sinαに誤差伝播の法則を当て、距離の誤差と角度の誤差を合成します。
問題（平成30年 午前 No.14）
TSを用いて放射法で標高を求める。既知点Ａから求点ＢをTSで観測し、測定距離80.000m・高低角35°00′00″を得た。距離測定の精度（標準偏差）が5mm＋5×10⁻⁶D、角度測定の精度が5″のとき、求点Ｂの標高の計算結果の精度（標準偏差）はいくらか。（距離と角度の測定は互いに影響しない、1ラジアン＝2×10⁵秒）
選択肢：1. 3.1mm 2. 3.5mm 3. 4.6mm 4. 5.4mm 5. 5.8mm
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成30年 測量士試験 午前 No.14）。問題文・数表は要約。数値・正解は公表資料で確認しています。
ステップ1：距離と角度の標準偏差を出す
距離の標準偏差は式に距離を入れて計算します。角度は秒をラジアンに直します。
σD ＝ 5mm ＋ 5×10⁻⁶ × 80,000mm ＝ 5 ＋ 0.4 ＝ 5.4 mm
σθ ＝ 5″ ÷ (2×10⁵) ＝ 2.5×10⁻⁵ rad
ステップ2：誤差伝播の法則を当てる
標高はZ＝D·sinα。距離Dと角度αが独立なので、σZ²＝(∂Z/∂D)²σD²＋(∂Z/∂α)²σθ²です。∂Z/∂D＝sinα、∂Z/∂α＝D·cosαです。
距離の項 ＝ (sin35° × 5.4)² ＝ (0.5736 × 5.4)² ≒ 9.59
角度の項 ＝ (D·cos35° × σθ)² ＝ (80,000 × 0.8192 × 2.5×10⁻⁵)² ≒ 2.68
ステップ3：合成して標高の標準偏差を求める
σZ ＝ √(9.59 ＋ 2.68) ＝ √12.27 ≒ 3.5 mm
選択肢2の3.5mmと一致します。
この問題の典型ミス
角度の標準偏差をラジアンに直さずに使うのが定番のミスです。5″を1ラジアン＝2×10⁵秒で割って2.5×10⁻⁵radにしてから掛けます。
2つの誤差は分散（2乗）で足して最後に平方根をとります。単純に足したり、mとmmを混ぜたりしないよう注意します。
まとめ
平成30年 午前 No.14は、放射法の標高の精度を誤差伝播で求める計算問題です。σZ²＝(sinα)²σD²＋(D·cosα)²σθ²に、σD＝5.4mm・σθ＝2.5×10⁻⁵radを入れて、σZ＝約3.5mm（選択肢2）です。「距離の項＋角度の項を分散で合成」がコツです。
誤差伝播の計算は、独学だと「分散で足す」「ラジアンに直す」でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で流れを確かめる手もあります。
料金・特典・講座内容は公式で要確認。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「平成30年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.14（問題文・数表は要約引用、正解＝2・数値は公表資料で確認）
- 誤差伝播の法則（Z＝D·sinαの標準偏差 σZ²＝(sinα)²σD²＋(D·cosα)²σθ²）
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝2（3.5 mm）
標高Z＝D·sinαの誤差伝播で、σZ²＝(sinα)²σD²＋(D·cosα)²σθ²です。σD＝5.4mm、σθ＝2.5×10⁻⁵radを入れると、σZ＝√(9.59＋2.68)＝約3.5mmです。