令和2年 測量士 午前 No.15の解説｜放射法の位置の標準偏差（7.6mm）

問題（令和2年 午前 No.15）

考え方：位置の誤差は「前後」と「横」の合成

放射法で点Bを決めるとき、誤差は2方向から来ます。距離の測り間違い＝前後（放射方向）の誤差と、角度の測り間違い＝横（放射に直角）の誤差。この2つは直角なので、2乗和のルートで合成します。

位置の標準偏差 ＝ √( σD² ＋ (S·σθ)² )

σDが前後方向、S·σθが横方向の誤差です（角度誤差σθは、距離Sだけ離れると横に S×σθ ずれる）。

ステップ1：横方向の誤差（S×σθ）

角度をラジアンに直して、距離を掛けます。

σθ ＝ 5″ ÷（2×10⁵）＝ 2.5×10⁻⁵ rad
横方向の誤差 ＝ S × σθ ＝ 190,000mm × 2.5×10⁻⁵ ＝ 4.75 mm

ステップ2：前後と横を合成する

位置の標準偏差 ＝ √(5.95² ＋ 4.75²) ＝ √(35.40 ＋ 22.56) ＝ √57.96 ≒ 7.6 mm

選択肢5の7.6mmと一致します。前後（5.95mm）と横（4.75mm）が同じくらいで、どちらか一方だけでは足りない、バランスのよい問題です。

この問題の典型ミス

方位角25°を使おうとするのが定番のひっかけです。位置の標準偏差の大きさは、点がどの方位にあるか（方位角）にはよりません。方位角はダミーで、使うのは距離Sと2つの標準偏差だけです。

角度をラジアンに直すのを忘れないこと。5″＝2.5×10⁻⁵ラジアン。これに距離をかけて横方向の誤差にします。

前後と横は「足す」のではなく「2乗和のルート」で合成（直角だから）。5.95＋4.75＝10.7mmとしないこと。

まとめ

令和2年 午前 No.15は、放射法で求めた点の位置の標準偏差です。①横方向の誤差＝S×σθ＝4.75mm → ②位置の標準偏差＝√(σD²＋(S·σθ)²)＝√(5.95²＋4.75²)＝7.6mm（選択肢5）です。「距離の誤差＝前後、角度の誤差＝横、直角だから2乗和のルート」が骨格です。

放射法の精度は、標高版（平成29年 No.15）と水平位置版（この問題）をセットで押さえると、誤差伝播の使い方が身につきます。

• 放射法の標高の精度（平成29年 午前 No.15）
• 誤差伝播の法則（令和3年 午前 No.15）
• 方向角と標準偏差（令和2年 午前 No.8）

誤差の合成や精度計算は、独学だと単位や合成の仕方でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の流れを確かめる手もあります。

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