令和3年 測量士 午前 No.15の解説｜誤差伝播の法則（高低差Z＝D·sinθの標準偏差）

問題（令和3年 午前 No.15）

ア：独立なら共分散は0

斜距離Dと高低角θは別々の観測で、互いに独立とされています。独立な2つの観測値の間には関係がないので、共分散＝0（ア）です。だから誤差伝播の式に「Dとθが絡む項」が出てこず、Dとθそれぞれのぶんだけを足せばよくなります。

イ・ウ：Z＝D·sinθを偏微分する

誤差伝播の法則は、各観測値で偏微分した係数の2乗に、その観測値の分散を掛けて足すものです。ZをD・θそれぞれで偏微分します。

∂f/∂D ＝ sinθ（イ）　…θを定数とみてDで微分
∂f/∂θ ＝ D·cosθ（ウ）　…Dを定数とみてθで微分（sinθの微分はcosθ）

これで空欄は ア＝0、イ＝sinθ、ウ＝D·cosθ。組合せは選択肢3です。

できあがる標準偏差の式

ア〜ウを誤差伝播の式に入れると、高低差Zの分散と標準偏差はこうなります。

σZ² ＝（sinθ)² σD² ＋（D·cosθ)² σθ²
σZ ＝ √[（sinθ · σD)² ＋（D·cosθ · σθ)²]

意味を読むと、距離Dの誤差はsinθ倍で高低差に効き、角度θの誤差はD·cosθ倍で効くということ。遠く（Dが大きい）ほど角度の誤差が高低差に大きく響く、と式が語っています。

この問題の典型ミス

θでの偏微分でsinθをそのままにしてしまうのが定番のミスです。sinθをθで微分するとcosθ。Dは定数扱いなので∂f/∂θ＝D·cosθです。Dでの微分（sinθはそのまま残る）と混同しないこと。

共分散の項も忘れがちです。独立なら0ですが、独立でない（相関がある）場合は共分散の項2·(∂f/∂D)(∂f/∂θ)·σ_Dθが入ります。この問題は「独立」と明記されているので0です。

誤差伝播は「係数の2乗×分散を足す」。係数（偏微分）を2乗し忘れたり、標準偏差のまま足したりしないよう、いったん分散（2乗）の世界で足してから最後に√で標準偏差に戻します。

まとめ

令和3年 午前 No.15は、誤差伝播の法則です。①独立なら共分散0（ア）→ ②Z＝D·sinθを偏微分して∂f/∂D＝sinθ（イ）・∂f/∂θ＝D·cosθ（ウ）→ ③σZ²＝(sinθ)²σD²＋(D·cosθ)²σθ²という流れで、組合せは選択肢3です。観測値から計算する量の精度を見積もる、測量の計算の基礎になる考え方です。

標準偏差や分散があいまいな人は、先に誤差と較差の記事で「偶然誤差・標準偏差」を、網平均の記事で「分散・重み」を整理してから解くと、誤差伝播がすっきり入ります。

• 誤差と較差の違い・標準偏差の考え方
• 標準偏差・正規分布（令和4年 午前 No.5）
• 厳密網平均と簡易網平均（最小二乗・分散）

誤差論や標準偏差は、独学だと式の意味でつまずきやすいところです。体系立てて学びたいときは、通信講座のサンプル講義で解説の流れを確かめる手もあります。

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