令和3年 測量士 午前 No.4の解説｜点の回転移動（回転行列）
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令和3年 午前 No.4は、座標平面上での点の回転移動を、行列を使って求める計算問題です。点A・Bの移動先の座標と、回転の向き・角度を順番に求めます。
問題（令和3年 午前 No.4）
xy座標系で、次の式によって点（x, y）は点（x′, y′）へ移される。
（x′, y′）ᵀ ＝ (1/2)・[ [ √3 , 1 ] , [ −1 , √3 ] ]・（x, y）ᵀ
このとき、点A（1, 0）は点A′（ ア ）へ、点B（0, 1）は点B′（ イ ）へ移される。この式が表す回転の向きは（ ウ ）まわり、大きさは角度θ＝（ エ ）°である（0°≦θ≦180°）。ア〜エの組合せとして最も適当なものを選べ。
※ √3≒1.7321、1/2＝0.5 として計算します。
出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和3年 測量士試験 午前 No.4）。問題文・数式は要約。正解は公表資料で確認しています。
解き方
行列の各成分を、点の座標にそのまま掛けて足します。(1/2)を忘れないのがポイントです。
① 点A（1, 0）の移動先
x′＝(1/2)（√3×1 ＋ 1×0）＝√3/2 ≒ 0.8660
y′＝(1/2)（−1×1 ＋ √3×0）＝−1/2 ＝ −0.5000
よって A′＝(0.8660, −0.5000)。
② 点B（0, 1）の移動先
x′＝(1/2)（√3×0 ＋ 1×1）＝1/2 ＝ 0.5000
y′＝(1/2)（−1×0 ＋ √3×1）＝√3/2 ≒ 0.8660
よって B′＝(0.5000, 0.8660)。
③ 回転の向きと角度
一般に、反時計まわりに角度θ回す回転は［［cosθ, −sinθ］,［sinθ, cosθ］］で表されます。今回の行列は(1/2)［［√3, 1］,［−1, √3］］なので、cosθ＝√3/2、sinθ＝−1/2 に対応します。sinθが負なので回転は時計まわりで、その大きさは |θ|＝30°です。
したがって、ア＝(0.8660, −0.5000)、イ＝(0.5000, 0.8660)、ウ＝時計、エ＝30 となり、正解は1です。
【確認】点A（1, 0）を時計まわりに30°回すと、確かに第4象限（yがマイナス）へ動きます。計算結果 A′のyが −0.5000 とマイナスになっていることが、向きの答え「時計まわり」と一致します。
参考（確認日：2026年7月11日）
- 国土地理院「令和3年 測量士試験 問題及び解答例」午前 No.4（問題文・数式は要約引用、正解＝1は公表資料で確認）
- 回転行列 ［［cosθ, −sinθ］,［sinθ, cosθ］］（反時計まわりを正とする）
※ この記事の確認日：2026年7月
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答え＝1
A′＝(0.8660, −0.5000)、B′＝(0.5000, 0.8660)、向き＝時計まわり、θ＝30°。この組合せである1が正解です。