令和4年測量士午前 No.16の解説｜高低差の標準偏差（誤差伝播）

本ページはプロモーション（アフィリエイト広告）を含みます。

令和4年午前 No.16は、誤差伝播の法則を使って、TSで求めた高低差の標準偏差を計算する問題です。斜距離と高低角の標準偏差から、高低差の標準偏差を求めます。

問題（令和4年午前 No.16）

TSで放射法により既知点Aから求点Bの高低差 Z＝D·sin i（D＝斜距離、i＝高低角）を求める。空欄ア〜オに入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。

測定値：D₀＝100.000m、i₀＝30°00′00″。距離測定の標準偏差＝(5＋5×10⁻⁶D) mm（Dはmm単位）、角度測定の標準偏差＝5″。角度1ラジアン＝2×10⁵ 秒。Dとiのσ²から σZ²＝(∂f/∂D)²σD²＋(∂f/∂i)²σi² で求める。

ア＝∂f/∂D、イ＝σD（mm）、ウ＝∂f/∂i、エ＝σi（rad）、オ＝σZ（mm）。

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和4年測量士試験午前 No.16）。問題文・数式は要約。正解は公表資料で確認しています。

答え＝3

ア＝0.5、イ＝5.5、ウ＝86,603、エ＝0.000025、オ＝3.50。この組合せである3が正解です。

単位を距離はmm、角度はラジアンにそろえて計算するのがカギです。

① ア：∂f/∂D（Dで偏微分）
Z＝D·sin i を D で微分すると sin i。i₀＝30°なので、sin30°＝0.5。

② イ：σD
σD ＝ 5＋5×10⁻⁶×D、D＝100.000m＝100,000mm なので、
5＋5×10⁻⁶×100,000 ＝ 5＋0.5 ＝ 5.5mm。

③ ウ：∂f/∂i（iで偏微分）
Z＝D·sin i を i で微分すると D·cos i。D＝100,000mm、cos30°＝0.86603 なので、
100,000×0.86603 ＝ 86,603。

④ エ：σi（ラジアンに換算）
5″ ÷ (2×10⁵) ＝ 0.000025 rad。

⑤ オ：σZ
σZ²＝(0.5)²×(5.5)² ＋ (86,603)²×(0.000025)²
＝ 0.25×30.25 ＋ 7.50×10⁹×6.25×10⁻¹⁰
＝ 7.56 ＋ 4.69 ＝ 12.25
σZ ＝ √12.25 ＝ 3.50mm。

よってア＝0.5、イ＝5.5、ウ＝86,603、エ＝0.000025、オ＝3.50 となり、正解は3です。

【典型ミス】角度の標準偏差は必ずラジアンに直します（秒のままだと桁が合いません）。距離もmmでそろえます。分散は「係数の2乗」を掛けて足すこと、最後に√を忘れないことがポイントです。距離項（7.56）と角度項（4.69）が同じくらいの大きさで、どちらも効いています。

参考（確認日：2026年7月11日）

※ この記事の確認日：2026年7月

この記事を書いた人

測量士補・測量士試験の用語・計算・法規を、国土地理院の公式情報と作業規程の準則に照らして整理しています。