令和3年測量士午前 No.13の解説｜1kmあたりの標準偏差

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令和3年午前 No.13は、1級水準測量の1kmあたりの標準偏差を求める計算問題です。往復観測の較差から、路線の距離で重みを付けて求めます。

問題（令和3年午前 No.13）

水準点A〜Fで1級水準測量を行い、次の結果を得た。1kmあたりの観測の標準偏差はいくらか。

観測路線	観測距離	往路の高低差	復路の高低差
A→B	2.2km	−3.1548m	＋3.1557m
B→C	2.1km	＋3.8015m	−3.8011m
C→D	1.9km	＋0.9934m	−0.9914m
D→E	2.1km	＋3.9755m	−3.9751m
E→F	2.0km	＋8.7692m	−8.7687m

1. 0.105mm　2. 0.138mm　3. 0.185mm　4. 0.323mm　5. 0.371mm

出典：国土地理院ウェブサイト「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和3年測量士試験午前 No.13）。問題文・表は要約。正解は公表資料で確認しています。

答え＝5

往復差から σ ＝ √（Σ(d²/S) / (4n)）＝ √（2.7508 / 20）≒ 0.371mm。正解は5です。

解き方

1kmあたりの標準偏差は、往復観測の較差 d（往路＋復路）を使い、次の式で求めます。
σ ＝ √（ Σ(d²/S) ÷ (4n) ）　（d：往復差[mm]、S：距離[km]、n：路線数）

① 各路線の往復差 d を求める（往路＋復路）
A→B：−3.1548＋3.1557＝＋0.0009m＝0.9mm
B→C：＋3.8015−3.8011＝＋0.0004m＝0.4mm
C→D：＋0.9934−0.9914＝＋0.0020m＝2.0mm
D→E：＋3.9755−3.9751＝＋0.0004m＝0.4mm
E→F：＋8.7692−8.7687＝＋0.0005m＝0.5mm

② d²/S を足す
0.9²/2.2 ＋ 0.4²/2.1 ＋ 2.0²/1.9 ＋ 0.4²/2.1 ＋ 0.5²/2.0
＝ 0.368 ＋ 0.076 ＋ 2.105 ＋ 0.076 ＋ 0.125 ＝ 2.751

③ 標準偏差（n＝5路線）
σ ＝ √（2.751 ÷ (4×5)）＝ √（2.751 ÷ 20）＝ √0.1375 ≒ 0.371mm

よって正解は5です。

【ポイント】較差は「往路＋復路」でほぼ0に近い小さな値（mm単位）になります。分母は 4n（＝4×路線数）です。C→Dの往復差2.0mmが他より大きく、これがσを押し上げています。

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参考（確認日：2026年7月11日）